Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  a.

Доказательство. Пусть f (x) = b. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – b и покажем, что (x) – б.м. при x  + .

Из определения f (x) = b имеем, что  > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < , но так как (x) = f(x) – b, то  > 0 x0 x > x0 | (x)| <  , а это означает, что (x) – б.м. при
x  +.

Итак, из равенства (x) = f(x) – b имеем f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  +.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + (x), где
b – число, (x) – б.м. функция при x  a, то f(x) = b.

Доказательство. Пусть f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  +, т.е.

 > 0 x0 x > x0 |(x)| < . (*)

Но (x) = f (x) – b, поэтому (*) можно записать так:  > 0 x0 x > x0 |f (x) – b| < , что означает: f (x) = b.

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

f1(x) = b1, f2(x) = b2, то (f1(x) + f2(x)) = b1 + b2, (f1(x) – f2(x) ) = b1 – b2.

Доказательство. На основании теоремы 1: f1(x) = b1 + 1(x), f2(x) = b2 + 2(x), где 1(x), 2(x) – б.м. при x a, тогда

f1(x) + f2(x) = (b1 + 1(x)) + (b2 + 2(x)) = (b1 + b2) + (1(x) + 2(x)).

Но 1(x) + 2(x) – б.м. функция при x a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f1(x) + f2(x) = (b1 + b2) + (1(x) + 2(x)) по теореме 2 следует, что


(f1(x) + f2(x)) = b1 + b2.

Аналогично проводится доказательство для разности.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f1(x) = b1, f2(x) = b2, то (f1(x)f2(x)) = b1b2.

Доказательство. По теореме 1: f1(x) = b1 + 1(x), f2(x) = b2 + 2(x), где 1(x), 2(x) – б.м. при x a, тогда f1(x)f2(x) = b1b2 + b12(x) + b21(x) + 1(x)2(x).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b12(x), b21(x), 1(x)2(x) – б.м. при x a и (x) = b12(x) + b21(x) + 1(x)2(x) – бесконечно малая функция при x a. Из равенства f1(x)f2(x) = b1b2 + (x) по теореме 2 следует, что
(f1(x)f2(x)) = b1b2.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
(Сf(x)) = Сf(x), где С – постоянное число.

Доказательство. Сf(x) = Сf(x) = Сf(x), так как С = С.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то [(f(x))n] = (f(x))n.

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f1(x) = b1,
f2(x) = b2 и b2 0, то .

Доказательство. По теореме 1: f1(x) = b1 + 1(x), f2(x) = b2 + 2(x), где 1(x),  2(x) – б.м. при x a, тогда

Обозначим последнюю дробь (x) = , тогда  + (x). Остается показать, что (x) – б.м. при x a. Действительно, числитель дроби
b21(x) – b12(x) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел
(b22 + b22(x)) = b22 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому  – функция,ограниченная при x a (по теореме 3 разд. 1.6). Значит, (x) – б.м. при x a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.


Пример. Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов3x = 3x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6. Если f(x) существует и f(x) 0 для всех x из области определения функции, то f(x) 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f(x) = b< 0. Зафиксируем = –,  > 0. По определению предела по  найдется x0, такое, что x > x0 |f(x) – b| < , отсюда b – < f (x) < b + . Но = –, поэтому x > x0 f(x) < b –,  f(x) < , т.е. f(x) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана.

Теорема 7. Если x (f1(x) f2(x)) и f1(x),  f2(x) существуют, то
f1(x)  f2(x).

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x) = f1(x) – f2(x), тогда x (F (x) 0)  иF(x) существует. По теореме 6: F(x) 0, (f1(x) – f2(x)) 0, отсюда
f1(x) f2(x). Теорема доказана.

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если x (f1(x) (x) f2(x)) и
f1(x) = f2(x) = b, то (x)  существует и равен b.

Доказательство

Пусть f1(x) = f2(x) = b (рис. 1.11).

Покажем, что (x) = b. Зафиксируем > 0, тогда найдется такое 1 > 0, что

x(x0, x0 + 1) |f1(x) – b| < ,

и найдется такое 2 > 0, что

x(x0, x0 + 2) |f2 (x) – b| < .

Обозначим через  меньшее из 1, 2, тогда для x(x0, x0 + ) эти неравенства будут выполняться одновременно. Преобразуем их, используя определение модуля:

x(x0, x0 + ) (b – < f1(x) < b + ,

x(x0, x0 + ) (b – < f2(x) < b + .

И учтем данное неравенство:

f1(x) (x) f2(x).

Тогда из этих неравенств получим: b – < f1(x) (x) f2(x) < b + , откуда
b – < (x) < b +  или x(x0, x0 + ) (|(x) – b| < ), по определению это означает, что (x) = b, что и требовалось доказать.

Бесконечно-малые функции и их свойства Функция a(х) называется бесконечно малой (сокращенно: б.м.) при х ® а (х   + ¥, х ®¥, x ® x0 – 0, х ® x0 + 0), если a(х) = 0.

Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Первый замечательный предел Рассмотрим функцию y = , аргумент x (как всегда в математическом анализе) выражается в радианах. При x = 0 функция  не определена.


Примеры решения задач по математике