Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Понятие производной по направлению (вывод)

Рассмотрим в области D функцию U=U(x,y,z) и (.) M(x,y,z). Проведем из М вектор S, направляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg, где a,b,g-соотв-ие углы. На векторе S на расстоянии ∆S от его начала рассмотрим (.) М1(x+∆x, y+∆y, z+∆z). Таким образом ∆s=. Будем предполагать, что функция U(x,y,z) непрерывна имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. Полное приращение функции представим в виде: ∆U= (1), где Е1, Е2,Е3 – стремятся к 0, при ∆s→0. Разделим все части равенства (1) на ∆s: ∆U/∆s= (2). Очевидно, что , , . Следовательно, равенство (2) можно переписать так: =(3).

Предел отношения при ∆s→0 называют производной от функции U=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается  т.е: =таким образом, переходя к пределу в равенстве (3) получим:

= (5). Из формулы (5) следует, что зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S.

Замечание: Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению.


29. Понятие градиента. Свойства градиента (3 свойствадокказать)

О. Вектор grad U(x,y,z)=(du/dx)|m0*i+(du/dy)|m0*j+(du/dz)|m0*k,( где i,j,k – орты осей координат) называется градиентом U=U(x,y,z ) в M0(x,y,z).

grad U(x,y,z)= =(du/dx;du/dy;du/dz)

Свойства:

1)Производная по направлению S от функции U(x,y,z) в точке M равна проекции градиента в точке М по направлению S.

Док-во

Обозначить через S0 единичный вектор вдоль оси S, тогда

S0=cosa*I+cosb*j +cosg*k; du/ds=(gradU, S0); (gradU, S0)=|gadU|*|s|*cos(gradU^S0)=Прs0gradU =du/ds

Замечание:если U(x,y,z)-const-повер-т уровня, то вектор grad U = du/dx;du/dy;du/dz будет задаватся координатами вектора нормали(grad является вектором нормали в т.М к пов-ти уровня)

2)Производная в данной точки по направлению S имеет наибольшее значение, если направление S совпадает с направлением градиенты. Это наибольшее знач. Совпадает с модулем градиенты.

Док-во

Du/ds=|gradU|*cosφ, φ=(); max du/ds|φ=0 =|gradU|

3)Производная по направлению вектора касательного к поверхности уровня=0.

Док-во

  U(x,y,z)=C; du/ds=|gradU|* cosφ, φ=π/2, следовательно du/ds=0;

30. Понятие частной производной высшего порядка. Дифференциалы высшего порядка.

Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y): dz/dx=df/dx=f’x(x,y); dz/dy=f’y(x,y) даны частные производные 1-го порядка, они в общем случае являются функциями переменных х и у, поэтому можно найти частные производные 2-го порядка: d2f/dx2= f’’xx(x,y) 

d2f/dy2= f’’yy(x,y), d2f/dydx= f’’yx(x,y); d2f/dxdy= f’’xy(x,y); Производные 2-го порядка можно снова дифференцировать как по х так и по у. Получим частные производные 3-го порядка, их будет 8 т.д.вывод:частные производные n-го порядка, есть 1-ая производная от (n-1) порядка.

 Дифференциалы высшего порядка. Полным дифференциалом 2-го порядка функции z=f(x,y) называется полный дифференциал 1-го порядка.

d2Z=D(Dz)

Dz=(dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy; D2z=D((dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy)=(d/dx)(.)Dx+(d/dy)(.)Dy=d2z/dx2(Dx)2+ (d2z/dydx)*(DyDx)+ +d2z/dy2(Dy)2+(d2z/dxdy)*(DyDx)= d2z/dx2(Dx)2+2(d2z/dydx)*(DyDx)+ d2z/dy2(Dy)2

Дифференциал 3-го порядка: D3z=d(d2z)= d3z/dx3(Dx)3+3(d3z/dx2dy)*(Dx)2(Dy)+ 3(d3z/dy2dx)*(Dy)2(Dx)+ d3z/dy3(Dy)3.Вывод диф-л К-ого порядка есть Dkz=D(Dk-1z)


Формула Тейлора ФНП (теорема без док) (×)

Для функции одной переменной формулу Тейлора запишем в виде:

(1):∆f(x0)=df(x0)+(1/2!)*d2f(x0)+(1/3!)d3f(x0)+…+dnf(x0)+Rn(x), где Rn(x)=(f(n+1)(ζ)*∆xn+1)/(n+1)-в форме Лагранджа; ζ=x0+∆x*(н);  0< (н)<1 или Rn=O((x-x0)n)-в форме Пиано.

Разложение (1) имеет место и для функции нескольких переменных. Рассмотрим функции U=f(x,y), непрерывную в области G вместе со своими частными производными для (n+1)-го порядка включительно. Пусть точка Mo(xo,yo) – некоторая внутренняя точка области G. Возьмем произвольную соседнюю точку M(x0+∆x; y0+∆y) из G и рассмотрим приращение функции f(x,y) в точке Mo. ∆f(x0,y0)=f(x0+∆x; y0+∆y)- f(x0,y0).

задачу о разложении по формуле Тейлора функции двух переменных сведем к разложению функции одной переменной.

Для этого фиксируем точку M0(x0+∆x; y0+∆y). Рассмотрим произвольную точку P(x,y), лежащую на отрезке МоМ и обозначим через t отношение длинны отрезка МоP к МоМ.

t=M0P/M0M=(x-x0)/∆x= (y-y0)/∆y;

x=x0+∆xt

y=y0+∆yt

введем функцию φ(t)=f(p)=f(x,y)=f(x0+∆xt; y0+∆yt)

φ(0)=f(x0,y0)=f(M0)

φ(1)=f(x0+∆x,y0+∆y)=f(M)

∆f(x0,y0)=f(M)-f(M0)= φ(1)- φ(0)

Т.к. функция f(x,y) имеет в области G непрерывные частные производные до (n+1) порядка включая, то φ(t) как сложения функция по t, имеет непрерывные производные по переменной t до (n+1)-ого порядка для любого t принадлеж. [0,1]можно разложить функцию φ(t) по формуле Тейлора (1).

Теорема: если ф-ция U=f(x1,x2,…,xn)- диф-ма (n+1) раз в некот-ой E-окрестности т.М0(x10, x20,…, xn0) то М0(x10+rx1, x20+rx2,…, xn0+rxn) справедлоиво равенство

f(x10+rx1, x20+rx2,…, xn0+rxn)= f(x10, x20,…, xn0)+dU|m0+1/2!d2U|m0+…+1/n!dnU|m0+d(n+1)U|m0/(n+1)!(*)

(*)есть формула Тейлора от ФНП

Экстремум ФНП. Теорема о необходимом условии существования экстремума

Понятие дифференциального уравнения первого порядка, решение ДУ, интегральная кривая, частное решение, начальные условия, задача Коши. Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение в котором неизвестная функция входит под знак производной или дифференциала.

Основные виды ДУ: с разделяющимися переменными, однородные, линейные первого порядка, Бернулли, в полных дифференциалах.


Примеры решения задач по математике