Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 (возможно, определена на R), но в самой точке x0 функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке  x0 (x  x0), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x0 достаточно близко. Обозначение: f(x) = b.

Пример 1. Функция y =  определена во всех точках числовой оси, за исключением x0 = 2. Найдем f(x), для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x  2:   = 2x.

x

1,6

1,7

1,8

1,9

2,1

2,2

2,3

2,4

y

3,2

3,4

3,6

3,8

4,2

4,4

4,6

4,8

График функции: y =  совпадает с прямой: y = 2x для всех x  2
(рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что  = 4. Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем: |f(x) – 4| = | – 4 | = | 2x – 4 |, так как x  2.

Потребуем, чтобы |f(x) – 4| <, тогда из неравенства: |2x – 4| <   получаем |x – 2| <. Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству: 2 – < x < 2 + , выполняется неравенство |f(x) – 4| <.

Аналогично можно показать, что |f(x) – 4| < , если 2 –  < x < 2 +   и, вообще, для любого (малого) положительного числа  |f(x) – 4| < , если 2 –  < x < 2 +  (или, что то же самое, | x – 2 | < ). Обозначим  = . Итак,  = 4.

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x0 (при стремлении x к x0), если для любого положительного числа  найдется положительное число , такое, что для любого x  x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 –  < x < x0 + , выполняется неравенство: | f(x) – b| < .

Символически f(x) = b означает:

 > 0  > 0 x  x0 (x0 –  < x < x0 +   | f(x) – b | < ). (*)

Заметим, что условие:

«x  x0 и x0 –  < x < x0 + »

можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 | <  , и тогда формула (*) примет вид:

 > 0  > 0 x (0 < | x – x0 | <   | f(x) – b | < ).

Если f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x0 не далее, чем на  значения f(x) отличаются от b не более чем на .

Пример 2. Показать, что x = x0.

В самом деле f(x) = x, поэтому для любого   > 0: | f(x) – x0 | <  при условии | x – x0 | <   (здесь  = ).

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть  > 0. Интервал (a, x0) называется левой полуокрестностью точки x0, интервал (x0 – , x0) – левой -полуокрестностью точки x0. Интервалы (x0, b), (x0, x0 + ) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой -полуокрестностью точки x0 (см. рис. 1.8, 1.9).


Пусть f(x0) определена в левой полуокрестности точки x0.

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого  > 0 найдется  > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой -полуокрестности (x0 – , x0), выполняется неравенство:
|f(x) – b| < .

Символическиf(x) = b означает: >0 > 0 x(x0 –  < x < x0  | f(x) – b | < ) (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого  > 0 найдется  > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой -полуокрестности (x0, x0 + ), выполняется неравенство: | f(x) – b | <  (см. рис. 1.9).

Символическиf(x) = b означает: >0 >0 x(x0 < x < x0 +   |f(x) – b| < ).

Пример 3. Функция f(x) задана равенством (рис. 1.10):

f(x) =  .

Найти f(x) и f(x).

Решение. Покажем, что f(x) = 1, а f(x) = 3.

Рассмотрим значения x < 1, тогда f(x) = 2x – 1 и | f(x) – 1| = |2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое   > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| <   2 |x – 1| <   |x – 1| < . Так как x < 1, то
f(x) – 1| < , если 1 –  < x < 1, следовательно,  = . Итак, если 1 –  < x < 1, то
| f(x) – 1| < , т.е.  f(x) = 1.

Рассмотрим значения x > 1, тогда f(x) = 4 – x. Зафиксируем  > 0,

| f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|. Отсюда | f(x) – 1| <   |1 – x| < , т.е. | f(x) – 1 | <  для 
x  (1, 1 + ). Значит,  f(x) = 3.

Очевидно, если f(x) = b, то f(x) = b и f(x) = b.

Верно и обратное, если f(x) = f(x) = b, то f(x) = b.

Если же правосторонний предел функции в точке x0 не равен левостороннему пределу функции в точке x0, то f(x) = b не существует. Так, в примере 3 функция f(x) не имеет предела в точке x0.

Пределы функции на бесконечности Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.

Данное пособие является составной частью учебного комплекса по курсу высшей математики, которое может быть полезно для организации учебного процесса на факультете дистанционного обучения при самостоятельной подготовке студентов к экзаменам. Оно поможет без помощи преподавателя организовать планомерное изучение материала не только основных понятий и положений теории, но и основных приемов и методов решения задач.

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом.

Функции Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f(x) или y = y(x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f(x). Обозначим множество всех значений функции, т.е. {f(x)|x A}, через B.


Примеры решения задач по математике