[an error occurred while processing this directive]
Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Производная функции

Основные правила нахождения производной

1) Если , то .

2) , где .

3) .

4) .

5) .

6) Если  и , то  (производная обратной функции).

7) Если , то ,  (производная параметрически заданной функции).

8) Если имеется сложная функция , то  (производная сложной функции).

9) Если переменные  и  связаны функциональным соотношением , так, что  не выражено явно через , тогда находят производные левой и правой части равенства  по отдельности, учитывая, что  зависит от  и, приравнивая производные, получают новое равенство, из которого определяется  (производная неявной функции).

Таблица производных основных элементарных функций:

1. .

2. .

3. .

4.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. 

.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. 

.

Пример 3. Найти производную функции.

Решение. 

.

Пример 4. Найти .

Решение. Чтобы найти производную функции типа , поступают так:

вначале логарифмируют данное равенство

,

затем находят производные от обеих частей полученного равенства, приравнивая их:

.

Получают:

,

или

.

Учитывая, что , имеем:

.

Дифференцируя это равенство, получаем:

;

.

Пример 5. Найти , если переменные  и  связаны соотношением:

.

Решение. Явно выразить одну из переменных через другую невозможно, поэтому находим производные левой и правой частей данного равенства и приравниваем их:

,

далее имеем:

;

.

Перенося слагаемые, содержащие , в одну часть равенства (вынося   за скобку), а остальные слагаемые – в другую и деля на коэффициент при , получаем:

.

Вторая производная функции – это производная от первой производной: , и вообще, -я производная – это производная от -й производной, а именно:

.

Пример 6. Найти  и  для функции .

Решение

.

.

Для случая параметрического задания функции , имеем:

.

Пример 7. Найти  и  для функции, заданной параметрически:

 .

Решение

;

;

;

.

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).

Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Решение типовых задач Предел функции При вычислении пределов следует помнить о типовых пределах, которые непосредственно можно получить из определений соответствующих функций.


Примеры решения задач по математике