Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Производная функции

Основные правила нахождения производной

1) Если , то .

2) , где .

3) .

4) .

5) .

6) Если  и , то  (производная обратной функции).

7) Если , то ,  (производная параметрически заданной функции).

8) Если имеется сложная функция , то  (производная сложной функции).

9) Если переменные  и  связаны функциональным соотношением , так, что  не выражено явно через , тогда находят производные левой и правой части равенства  по отдельности, учитывая, что  зависит от  и, приравнивая производные, получают новое равенство, из которого определяется  (производная неявной функции).

Таблица производных основных элементарных функций:

1. .

2. .

3. .

4.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. 

.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. 

.

Пример 3. Найти производную функции.

Решение. 

.

Пример 4. Найти .

Решение. Чтобы найти производную функции типа , поступают так:

вначале логарифмируют данное равенство

,

затем находят производные от обеих частей полученного равенства, приравнивая их:

.

Получают:

,

или

.

Учитывая, что , имеем:

.

Дифференцируя это равенство, получаем:

;

.

Пример 5. Найти , если переменные  и  связаны соотношением:

.

Решение. Явно выразить одну из переменных через другую невозможно, поэтому находим производные левой и правой частей данного равенства и приравниваем их:

,

далее имеем:

;

.

Перенося слагаемые, содержащие , в одну часть равенства (вынося   за скобку), а остальные слагаемые – в другую и деля на коэффициент при , получаем:

.

Вторая производная функции – это производная от первой производной: , и вообще, -я производная – это производная от -й производной, а именно:

.

Пример 6. Найти  и  для функции .

Решение

.

.

Для случая параметрического задания функции , имеем:

.

Пример 7. Найти  и  для функции, заданной параметрически:

 .

Решение

;

;

;

.

Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба Пусть f(x) – функция, дифференцируемая на интервале (a, b). Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции y = f(x).

Асимптоты При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Решение типовых задач Предел функции При вычислении пределов следует помнить о типовых пределах, которые непосредственно можно получить из определений соответствующих функций.


Примеры решения задач по математике