Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Возрастание и убывание функций

Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), причем (x) > 0 для любого x(a, b), то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство. Функция возрастает на [a, b], если

x1, x2[a,b] (x1 < x2   f(x1) < f (x2)).

Пусть x1, x2 – любые два числа из [a, b], такие, что x1 < x2. Докажем, что
f(x1) < f(x2).

По теореме Лагранжа о конечных приращениях f (x2) – f (x1) = (с)(x2 – x1), где c удовлетворяет неравенству x1 < c < x2. По условию теоремы (с) > 0, следовательно, f(x2) – f (x1) > 0, т.е. f (x1) < f (x2). Теорема доказана.

Теорема 2. (Необходимое условие возрастания функции)

Если функция f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то (x)  0 для любого x из интервала (a, b).

Доказательство. Пусть x0(a, b). Дадим аргументу приращение x, тогда функция получит приращение f(x0 + x) – f(x0). Функция f(x) возрастает на [a, b], поэтому, если x > 0, то f(x0 + x) – f(x0) > 0, а если x < 0, то f(x0 + x) – f(x0) < 0. В обоих случаях > 0, а потому  0, т.е. (x0)  0. Теорема доказана.

Аналогичные теоремы справедливы для убывающей функции, только условие
(x) > 0 заменяется на условие: (x) < 0.

Сформулируйте и докажите достаточное условие и необходимое условие для убывания функции.


Пример. Исследовать на монотонность (т.е. возрастание и убывание) функцию:

f (x) = x3 – 3x.

Решение. (x) = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1).

Неравенство (x) > 0, т.е. 3(x2 – 1) > 0, справедливо для x < –1 и для x >1. Следовательно, функция f(x) возрастает на интервалах (–, –1) и (1, +). Поскольку неравенство (x) < 0, т.е. 3(x2 – 1) < 0 справедливо для x(–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция f(x) убывает.

Построим график функции y = x3 – 3x (рис. 2.10), используя ее значения в точках:

x1 = –1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = –, x5 =:

 f(–1) = 2, f(1) = –2, f(0) = 0, f(–) = 0, f() = 0.

Заметим, что в точке x1 = –1 значение f(–1) больше, чем значение f(x) в соседних с x1 точках. Говорят, что в точке x1 функция имеет максимум (локальный максимум). Аналогично,  f(x2) < f(x) для x, близких к x2. В этом случае говорят, что в точках x2 функция имеет минимум (локальный минимум).

 

Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x0 X.

Говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) < f(x0).

Точка x0 называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) > f(x0).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и
x0 – точка экстремума, то (x0) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности x0 – точка максимума, тогда найдется окрестность (x0 – , x0 + ) точки x0 такая что, для любого x(x0 – , x0 + )
f(x) < f(x0), т.е. f(x0) – наибольшее значение функции f(x) на интервале (x0 – , x0 + ). Тогда по теореме Ферма (разд. 2.9) (x0) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Если x0 – точка экстремума, то (x0) = 0 или (x0) не существует.

В качестве примера приведем функцию f(x) = |x| (рис. 2.11).

Очевидно, что x0 = 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x  0. А в точке x0 = 0 производной f'(0) не существует.

Если f'(x0) = 0 или f'(x0) не существует, то точку x0 будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x0 и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x0, и x0 – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x0) = 0 или (x0) не существует). Тогда: 1) если при x < x0 производная (x) > 0, а для x > x0: (x) < 0, то x0 – точка максимума; 2) если при x < x0: (x) < 0, а при x > x0: (x) > 0, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Пусть для x < x0: (x) > 0, а для x > x0: (x) < 0, т.е. при переходе через точку x0 слева направо производная меняет знак с + на –. Тогда слева от x0 функция f(x) возрастает, а справа от x0 функция f(x) убывает, следовательно, x0 – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и пусть (x0) = 0. Если (x0) > 0, то x0 – точка минимума. Если (x0) < 0, то x0 – точка максимума.

Доказательство. Пусть (x0) = 0 и (x0) > 0. Покажем, что x0 – точка минимума:

f''(x0) = =  > 0.

Тогда в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство
  > 0. Отсюда, если x < 0, то (x0 + x) < 0, а если x > 0, то (x0 + x) > 0, т.е. слева от точки x0 функция f(x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что
x0 – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для (x0) < 0.

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x2e–x. Построить ее график.

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–, ). Найдем производную: (x) = 2xe–x – x2e–x = xe–x(2 – x). Тогда (x) = 0 при x1 = 0 и
x2 = 2, где x1, x2 – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–; 0), (0; 2), (2; +). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f(x):

x

x1 = 0

(0, 2)

x2 = 0

(x)

(x) < 0

0

(x) > 0

0

(x) < 0

f(x)

убывает

возрастает

убывает

Определим знак (x) на каждом из интервалов: если x(–, 0), то (x) < 0; если x(0, 2), то (x)>0; если x(2, +), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f(x): на первом и последнем интервалах f(x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x1 = 0 является точкой минимума, yмин(0) = 0, а x2 = 2 – точка максимума, yмакс(2) = 0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и

x2e–x = 0,

x2e–x = , f(–1) = e  2,7.

График этой функции изображен на рис. 2.12.

Отметим, что дальнейшее исследование этой функции (см. следующий раздел) позволит уточнить ее график.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x + .

Решение. Область определения функции (-, 0)(0, +), в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем f'(x) и f''`(x): f `(x) = 1 – , f''(x) = . Теперь найдем критические точки функции, для этого решим уравнение f'(x) = 0:
1 –   = 0, отсюда x1 = –2, x2 = +2 – критические точки. Используем теорему 3 для исследования критических точек, для этого вычислим f''(x) в точках x1 и x2. Так как
f''(–2) = = –1< 0, то x1 = –2 является точкой максимума fмакс(–2) = –2 – = –4. Для x2: f''(2) =  = 1 > 0, поэтому x2 = 2 – точка минимума, fмин(2) = 2 + = 4.

Таким образом, функция f(x) = x +   имеет максимум при x1 = –2, f(–2) = –4 и имеет минимум при x2 = 2, f(2) = 4.

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения (см. гл. 1). Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.

Если на отрезке [a, b] есть точки минимума и максимума функции f(x) (рис. 2.13), то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка [a, b]. Аналогично для наибольшего значения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке:

найти критические точки x1, x2, ..., xn функции f(x), принадлежащие отрезку ;

вычислить значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка;

из этих значений выбрать самое большое и самое малое, эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями f(x) на отрезке [a, b].

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

f(x) = x4 – 2x2 + 5 на отрезке [–2, 2].

Решение. Найдем критические точки для данной функции:

(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1);

(x) = 0 при x1 = 0, x2 = –1, x3 = +1, все три критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции в точках –2, –1, 0, 1, 2:

f(–2) = (–2)4 – 2(–2)2 + 5 = 16 – 8 + 5 = 13, f(–1) = 1 – 2 + 5 = 4,
f(0) = 5, f(1) = 4, f(2) =13.

Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.

Итак, наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение равно 13.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0 существует производная этой функции, то  = 0.

Правило Лопиталя В главе 1 мы познакомились с приемами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, т.е. раскрытия неопределенностей типа  и . В этом разделе мы рассмотрим новый способ вычисления таких пределов, так называемое правило Лопиталя.

Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.


Примеры решения задач по математике