Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Биржа студенческих
работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Студенческий файлообменник

Студенческий файлообменник

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Дифференциальное исчесление Возрастание и убывание функций Основные правила нахождения производной Исследование функций и построение их графиков Образец выполнения типового расчёта

Примеры выполнения типового расчёта по курсу высшей математики

Дифференциальное исчесление функции одной переменной

Понятие производной, ее геометрический и механический смысл

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через y и назовем приращением функции.

Итак, x = x – x0, y = f(x) – f(x0). Из равенства x = x – x0 получаем равенство
x = x0 + x, тогда y = f(x0 + x) – f(x0).

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x0).

Итак,

.


Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x2 в точке x0 = 3.

Решение


Если (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

. (*)

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.


Доказательство. Дано, что f'(x0) существует, т.е.  есть некоторое число. Покажем, что выполняется равенство (*):

Итак, доказано, что f(x) непрерывна в точке x0.

Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0, так как .

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

 

 не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x0 = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты x0, f(x0), другая точка графика M – координаты x0 + x, f(x0 + x). Прямая M0M является секущей для линии y = f(x), она наклонена к оси Ox под углом . Пусть (x0) существует, т.е.  есть некоторое число. Из M0MА получаем:  (известно, что tg – угловой коэффициент прямой M0M). Если x  0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая M0M, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M0K, при этом  ( – угол между касательной M0K и осью Ox), tg  tg.

Таким образом,  но tg = k есть угловой коэффициент касательной M0K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции f(x) в точке x0: (x0) = k = tg.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид: y – f (x0) = (x0)(x – x0).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени
t0 + t. За время t0 пройденный точкой путь равен: S0 = f (t0), за (t0 + t) пройдено расстояние S = f(t0 + t), и точка оказалась в положении M, тогда за время t пройден путь M0M и он равен:

S – S0 = f(t0 + t) – f(t0) = S.

Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна:  Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени t. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при t  0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.

Свойства функций, непрерывных на отрезке Определение. Если функция f(x) определена на отрезке [a, b], непрерывна в каждой точке интервала (a, b), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].

Производные некоторых элементарных функций Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X, x0X и f(x) дифференцируема в точке x0, т.е. производная  существует.

Основные правила дифференцирования Установим правила, по которым можно находить производные суммы, произведения, частного двух функций, производную сложной функции, зная производные этих функций, а также производную обратнгой функции.


Примеры решения задач по математике