Задачи с решениями КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ по термодинамике и статистической физике

[an error occurred while processing this directive]
Математика
Примеры решения задач
 
Сопромат
Лабораторные работы по материаловедению
Физика
Экзамен
Первая контрольная работа
Вторая контрольная работа
Энергия линейного гармонического осциллятора
Уравнение реакции водорода с кислородом
В сосуде газ идеальный
джоулево тепло

КПД обратимой тепловой машины

Электротехника
Расчеты цепей постоянного и переменного тока
 

Экзамен

1. Энергия линейного гармонического осциллятора определяется формулой

Молекула представляет собой три различных осциллятора с одинаковыми частотами. Они могут находиться в различных состояниях. Их суммарная энергия равна

E = (n1 + n2 + n3 + 1,5) = 3,5

откуда получаем:

n1 + n2 + n3 = 2.

Этому равенству удовлетворяют комбинации квантовых чисел, приведенные в таблице:

n1

0

0

0

1

1

2

n2

0

1

2

0

1

0

n3

2

1

0

1

0

0

Шесть различных комбинаций – шесть различных состояний молекулы. Соответственно энтропия по формуле Больцмана равна

S = k×ln 6.

Один осциллятор, скажем первый, в трех случаях из шести находится в возбужденном состоянии. Таким образом, вероятность того, что один определенный осциллятор возбужден, равна

2. Линейная четырехатомная молекула ABCD имеет три поступательных, две вращательных и семь колебательных степеней свободы (всего 12). Ее энергия до диссоциации в соответствии с законом распределения энергии по степеням свободы равна

под действием света молекула распадается на нелинейную молекулу ABC и атом D:

ABCD → ABC + D.

Нелинейная трехатомная молекула из девяти степеней свободы имеет по три степени поступательных, вращательных и колебательных. Ее энергия после установления равновесия равна

Энергия атома равна

При поглощении кванта света четырехатомной молекулой происходит ее диссоциация. Составляем уравнение баланса энергии:

По условию энергия поглощаемого кванта равна энергии диссоциации. При использовании этого условия и значений энергии молекул найдем установившуюся температуру газа:

При решении задачи предполагалось, что и до диссоциации колебательные степени свободы четырехатомной молекулы возбуждены. Иначе температура газа в результате диссоциации упадет, что противоречит задаче.

3. Теплоемкость, по определению, равна

По первому началу термодинамики подводимое к газу тепло равно

Внутренняя энергия идеального газа является функцией только температуры. Поэтому

В данном случае cV – молярная теплоемкость. Таким образом, теплоемкость моля идеального газа в рассматриваемом процессе равна

Производную от объема по температуре вычислим, используя уравнение процесса

и термическое уравнение состояния моля идеального газа

Исключаем из них давление и логарифмируем:

Дифференцирование по температуре дает:

Возьмем отсюда производную и подставим ее в выражение для теплоемкости. С учетом термического уравнения состояний найдем искомую теплоемкость:

4. В первое начало термодинамики входит величина Q. Под ней понимают количество теплоты, полученное системой. По условию задачи уходящее тепло равно изменению внутренней энергии газа, поэтому в соотношении между Q и DU возникает знак «минус»:

Q = –DU.

Так как газ идеальный, то его внутренняя энергия – функция только температуры. Пусть теплоемкость CV постоянна. Тогда

Q = – CV (T – T0).

Здесь CV – теплоемкость либо всего газа, либо количество газа равно одному молю, и тогда CV – молярная теплоемкость. Таким образом, теплоемкость газа в рассматриваемом процессе равна

Работа, совершаемая над газом, и подведенная к нему теплота идут на изменение его внутренней энергии (первое начало термодинамики). Для условий задачи

A'¢ = DU – Q = 2DU = 2CV (T – T0).

Для нахождения конечной температуры необходимо получить уравнение процесса. С этой целью рассматривается первое начало термодинамики в дифференциальной форме. Для данной задачи оно имеет вид

– dU = dU + pdV.

Слева – количество теплоты, полученное газом. Для идеального газа уравнение можно преобразовать:

2dU + pdV = 0 Þ 2CV dT + RTdV/V = 0.

Оно решается разделением переменных, так что

где g – показатель адиабаты. По условию газ сжимается с уменьшением объема в два раза. Окончательно

Идеальный газ сжимается под поршнем в цилиндре так, что уходящее в окружающую среду тепло равно изменению внутренней энергии газа.

5. Задача стационарная, Поэтому поток тепла через слой вещества остается постоянным как во времени, так и по толщине слоя:

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.

Коэффициент теплопроводности k является линейной функцией координаты x, принимая значения k1 и k2 на границах слоя:

Дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных:

Интегрируем его от нижней границы слоя до точки с координатой x:

Запишем это уравнение для точки на верхней границе слоя:

Поделив два уравнения одно на другое, исключим неизвестную плотность потока тепла:

Отсюда найдем распределение температуры в слое:

При движении пластины в окружающем воздухе возникают вязкие силы трения, и он увлекается пластиной в том же направлении. В пределах воздушной подушки ввиду ее малой толщины  возникающие градиенты скорости и, следовательно, силы трения значительные, тогда как вне подушки они малы, и их действием пренебрегается.

напряжение трения (сила трения, действующей на единичную площадку между слоями движущегося воздуха) определяется по формуле:

Средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна их концентрации:

Поэтому коэффициент вязкости η и, следовательно напряжение трения не зависят от давления. Это справедливо для сравнительно плотного газа (например, при атмосферном давлении). Перед пластиной и за ней давление одно и то же. Считаем, что оно постоянно в зазоре между пластиной и твердой поверхностью. Таким образом, на пластину действует только трение со стороны воздушной подушки. Это трение в общем-то невелико, и пластина тормозится медленно. Движение воздуха под пластиной можно считать квазистационарным. В этом случае профиль скорости в слое движущегося воздуха линейный, как показано на рисунке. Скорость воздуха на пластине равна ее текущей скорости, а на поверхности земли – нулю. В результате имеем

Применяем 2-й закон Ньютона:

При известной начальной скорости пластины решение данного обыкновенного дифференциального уравнения имеет вид

Вычислим путь, пройденный пластиной до остановки:

Задачи экзамена по физике