Дифференциальные уравнения

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение

, (1)

где  и   – заданные постоянные коэффициенты.

Нам уже известно, что общее решение такого уравнения складывается из общего решения , соответствующего однородного уравнения

 (2)

и какого-нибудь частного решения  уравнения (1), т.е. . (3)

Как строить общее решение  однородного уравнения (2), мы рассмотрим в предыдущем параграфе. Поэтому теперь вопрос об общем решении уравнения (1) сведен лишь к вопросу о построении хотя бы какого-нибудь частного решения  уравнения (1). Вообще говоря,   можно, например, угадать. Но такой способ определения  очень ненадежен. Мы укажем сейчас точные способы, которые всегда приводят к цели.

А. Правая часть уравнения (1) имеет специальный вид

Рассмотрим функцию: , (4)

где  – полиномы, а числа m и n – вещественные любые.

По виду этой функции составим «контрольное число» .

Пусть корни характеристического уравнения будут  и .

Определим число k следующим образом:

, если контрольное число не совпадает ни с одним из корней ;

, если   совпадает с одним из корней ;

, если .

Правило. Если правая часть уравнения (1) имеет вид:

 (5),

то частное решение следует искать в форме

 (6),

где и   – полиномы степени, равной наивысшей из степеней полиномов и .

Схема нахождения :

зная вид , записывают  в форме (3), причем полиномы и  и  записываются с неопределенными коэффициентами;

подставляют  в уравнение (1) вместо y, и приравнивают коэффициенты при одинаковых функциях справа и слева. Получают систему уравнений для коэффициентов многочленов . Решая эту систему, находят неизвестные коэффициенты.

Найденные коэффициенты подставляют в формулу (3) и находят .

Замечания:

1. Если функция имеет вид:  или
, то частное решение   все равно ищется в виде (6) .

2. Если , то . В этом случае частное решение ищется в форме: . При этом степень  равна степени и .

3. Если , то , а  имеет вид .

Пример.

Здесь:

Характеристическое уравнение . Следовательно, .

Поэтому  следует искать в виде:

Отсюда Подставляя в уравнение и , находим:

Отсюда  или

.

Следовательно, .

В. Метод вариации произвольных постоянных

В пункте А был изложен метод построения  для специального вида . Метод вариации произвольных постоянных применим для функции  любого вида.

Итак, рассмотрим уравнение (1): , где – любая функция (непрерывная).

Пусть нам известно общее решение однородного уравнения (2)

 (7)

где – произвольные постоянные, а  и – частные решения уравнения (2).

Будем искать частное решение уравнения (1) в виде , (8)

т.е. в таком же виде, как общее решение (7), но только вместо произвольных постоянных подставим пока неизвестные функции. Найдем их. Поскольку  должно быть решением уравнения (1), то функции  и связаны только одной зависимостью. Для того чтобы их найти, этого недостаточно. Поэтому мы вправе наложить на них еще одно условие по произволу.

Найдем производную  (9)

Потребуем, чтобы  имело бы такой же вид, как если бы  и  были бы постоянными. Отсюда следует, что должно быть

. (10)

Тогда . (11)

Найдем  (12)

Подставляя и  определенные формулами (9), (11) и (12), в уравнение (1), тогда получим:

или .

Но  и суть решения однородного уравнения (2), поэтому имеем

 (13)

Таким образом,  и  определяются из (10) и (13), т.е. из системы уравнений

 (14)

Эта неоднородная система линейных алгебраических уравнений относительно  и  с определителем .

Это определитель Вронского, по доказанному ранее , поэтому система (14) имеет единственное решение. Определение из (14)  и  интегрируя их, найдем  и , а затем и .

Замечание. Если при интегрировании  и  ввести произвольные постоянные, то сразу получим общий интеграл неоднородного уравнения (1).

Пример.

Соответствующее однородное

Характеристическое уравнение .

Общее решение однородного уравнения

 

Частное решение заданного уравнения ищем в виде , где  и  определяются из системы:

Отсюда

Общее решение будет

или .

Примеры решения задач по математике