Математика примеры решения задач Интегралы

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

Решение. Построим графики данных функций: это возрастающая показательная функция, так как основание этой функции больше единицы (4>1); графиком функции  является прямая, проходящая  через начало координат (биссектриса первого и третьего координатных углов); прямая, параллельная оси  проходящая через точку (0;4)

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и

 Прямой   разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем абциссу точки пересечения графиков  и

Используя формулу (2.17), получим:

Следовательно, площадь данной фигуры равна:

.

2). Вычисление длины дуги.

Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением  то

  (2.19)

где, абциссы начала и конца дуги

Если кривая задана уравнением  то

  (2.20)

где ординаты начала и конца дуги

Если кривая задана параметрическими уравнениями   то длина дуги выражается формулой

  (2.21)

где значения параметра, соответствующие концам дуги

Пример 58. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и

находим

  

Знаки  в выражении  указывают, что кривая симметрична относительно оси   точки  и  имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси

Подставляя в формулу (2.19), получим

 Пример 59. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды

Решение. Дифференцируем по  параметрические уравнения циклоиды

тогда

 

Подставляя полученные результаты в формулу (2.21), получаем

Пример 60. Вычислить длину дуги полукубической параболы  между точками  и

Решение. Разрешаем данное уравнение относительно  и находим     

Согласно формуле (2.20) получим

Задания для самостоятельного решения

Вычислить длины дуг кривых:

1.  между точками пересечения с осью  

2.  3.   от

 до   4.  от  до

Ответы. 1.  2.  3.  4. .

Примеры решения задач по математике