Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1). Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми   и осью  вычисляется по формуле

  (2.15)

Площадь фигуры, ограниченной кривой  (), непрерывная, прямыми  и осью равна

  (2.16)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми  и  () и двумя прямыми  и  находится по формуле

  (2.17)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы

Здесь непрерывные и неотрицательные функции  и  пересекаются в точке с абциссой

  (2.18)

Пример 54. Найти площадь фигуры, ошраниченной осью  графиком функции  прямыми  и

Решение. Графиком функции  является парабола, симметричная относительно оси ветви которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).

Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)

Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0;4), симметричная относительно оси  Графиком второй функции  также является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины   то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична относительно прямой  Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти

Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:

  

  Получили, что   Согласно формуле (2.17), получим

Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями   

Решение. Показательная функция  возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция убывающая, так как Построим графики данных функций

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и      

Прямой  разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем точку пересечения графиков функций  и

    тогда, согласно формуле (2.17), получим

Найдем точку пересечения графиков функций  и     тогда, используя формулу (2.17), получим:

Таким образом, площадь данной фигуры равна

.

Примеры решения задач по математике