Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Основные методы интегрирования

Согласно формуле Ньютона-Лейбница  при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную  или неопределенный интеграл а затем вычислить разность  значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:

Пример 41. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 42. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 43. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Для этого числитель дроби почленно разделим на знаменатель:

Используя свойство 2 определенного интеграла, получим

Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Умножим и разделим числитель первой подынтегральной функции на 2:

Согласно соотношению  получим

Во втором интеграле воспользуемся свойством 1:

Значит, данный интеграл равен

При вычислении определенных интегралов широко используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана подстановка

Теорема. Если:

1) функция  и её производная  непрерывны при

2) множеством значений функций  при  является отрезок

3)   тогда

 

 (2.13) 

Формула (2.13) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки  применяют подстановку

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Пример 45. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда    при   при   Получим интеграл

Пример 46. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Обозначим  тогда   при   при   Подставляя полученные результаты в данный интеграл, получим

Пример 47. Вычислить интеграл

Решение. Введем подстановку  тогда

  при   при   Тогда получим

Пример 48. Вычислить интеграл

Решение. Пусть ; при  , при  ;

.

Данный интеграл примет вид:

.

Пример 49. Вычислить интеграл .

Решение. Заменяя переменную при помощи подстановки  найдем    при   при  

Подставляя, получим

Пример 50. Вычислить интеграл

Решение. При решении данного интеграла можно воспользоваться универсальной подстановкой  Проверим возможность использования одной из частных подстановок   или  По условию дана рациональная функция относительно  и  

 Данная функция является четной относительно  поэтому подстановкой  воспользоваться не можем.

Функция нечетная относительно , поэтому используем подстановку  тогда  при  при   Данный интеграл примет вид:

Если функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке  то имеет место формула

 . (2.14)

Формула (2.14) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет тот же вид, что и в неопределенном интеграле, поэтому все рекомендации для интегралов, берущихся по частям, данные для неопределенных интегралов (пункт 1.4), справедливы и для определенных интегралов.

Пример 51. Вычислить интеграл

Решение. Данный интеграл относится к первой группе интегралов, берущихся по частям, поэтому     тогда согласно формуле (2.14) получаем

Пример 52. Вычислить интеграл

Решение. Интеграл относится ко второй группе интегралов, берущихся по частям. Положим   тогда   Подставляя в формулу (2.14), получаем

Пример 53. Вычислить интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы интегралов, берущихся по частям:тогда

Подставим полученные результаты в формулу (2.14)

 

 

Получили алгебраическое уравнение относительно данного интеграла:

Решим это уравнение:

 тогда

Примеры решения задач по математике