Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными  и над которыми выполняются рациональные действия (сложение, вычитание, умножение и деление) принято обозначать  где знак рациональной функции.

Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой которая называется универсальной.

Действительно, 

Поэтому

где рациональная функция от Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:

1) если функция нечетна относительно  то есть то подстановка  рационализирует интеграл;

2) если функция  нечетна относительно то есть то делается подстановка

3) если функция четна относительно  и  то интеграл рационализируется подстановкой  

Для нахождения интегралов типа  используются следующие приемы:

1) подстановка  если целое положительное нечетное число;

2) подстановка  если целое положительное нечетное число;

3) формулы понижения порядка: 

  если  и целые неотрицательные четные числа;

4) подстановка  если есть четное отрицательное целое число.

Интегралы типа    вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:

Пример 32. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой  Тогда  Следовательно,

Возвращаясь к переменной интегрирования  получим

Пример 33. Найти интеграл

Решение. Так как  то полагаем    тогда

Данный интеграл примет вид:

Возвращаясь к данной переменной интегрирования получим:

Пример 34. Найти интеграл

Решение. Так как

то воспользуемся подстановкой

Тогда получим интеграл

Вернемся к исходной переменной

Пример 35. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция   Воспользуемся подстановкой  тогда    Получим интеграл

Переходя к данной переменной интегрирования  получим

Пример 36. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

Воспользуемся формулой понижения порядка для первого множителя:

Получили интеграл:

Рассмотрим первый интеграл:

Во втором интеграле положим  тогда   

Подставляя полученные результаты, имеем

Пример 37. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся формулой

Пример 38. Найти интеграл

Решение. Применяя формулу

 получим 

 Пример 39. Найти интеграл  

Решение. Используя формулу  получим

Примеры решения задач по математике