Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа   называются неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Первые два интеграла находятся следующим образом: под радикалом выделяется полный квадрат, затем основание полного квадрата обозначается новой переменной. После необходимых преобразований, выполненных над подынтегральным выражением, получаем табличные интегралы. Интегралы третьего вида подстановкой  приводятся к виду первых двух интегралов.

Пример 27. Найти интеграл

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:  Введем новую переменную   тогда    

Данный интеграл примет вид:

Пример 28. Найти интеграл

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделяя полный квадрат: 

Воспользуемся подстановкой  тогда   

Подставим полученные выражения в данный интеграл и преобразуем его:

Найдем отдельно каждый интеграл. Для нахождения первого интеграла воспользуемся методом замены переменной:

Рассмотрим второй интеграл

Возвращаясь к данному интегралу и исходной переменной интегрирования  получаем:

 Пример 29. Найти интеграл

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен  Введем новую переменную  тогда   

Рассмотрим каждый интеграл отдельно.

Исходный интеграл будет равен

Возвращаясь к данной переменной интегрирования окончательно получим:

Пример 30. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся подстановкой  тогда Получим интеграл:

Воспользуемся еще раз подстановкой: тогда Подставляя полученные выражения в последний интеграл, получим:

Вернемся к данному интегралу и исходной переменной интегрирования

Если подынтегральная функция содержит иррациональности разных показателей корней, тогда подстановка где наименьшее общее кратное показателей корней, сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример 31. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся методом подстановки, обозначив  так как наименьшее общее кратное показателей корней два и четыре, тогда  

Подставляя в данный интеграл, получим:

Получили подынтегральную функцию, которая является неправильной рациональной дробью. Выделим целую часть, а для этого разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя:

 

Таким образом

Подставим в последний интеграл полученную функцию и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу и переменной интегрирования  получим:

Примеры решения задач по математике