Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование рациональных функций

Определение. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть  где многочлен степени  а многочлен степени

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть  в противном случае (если ) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь  можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби.

Следующие правильные дроби называются простейшими или элементарными:

1. 

2. где целое число, больше единицы (то есть   );

3.  где знаменатель дроби не имеет действительных корней, то есть

Здесь действительные числа.

Рассмотрим на примерах интегралы от простейших рациональных дробей.

Пример 19. Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойством 4 неопределенных интегралов и равенством (1.5):

пусть  тогда  поэтому

Таким образом

Пример 20. Найти интеграл

Решение. Обозначим     тогда получим

Следовательно



Пример 21. Найти интеграл 

Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе подынтегральной функции   действительных корней квадратный трехчлен не имеет, поэтому выделим полный квадрат из квадратного трехчлена  Обозначим через тогда   

Подставим в данный интеграл:

Пример 22. Найти интеграл 

Решение. Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат

 Введем новую переменную  тогда  

Далее разложим полученный интеграл на сумму двух интегралов, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим их по формуле 20 таблицы интегралов и равенству (1.4)

Возвращаясь к переменной  окончательно получим

Пример 23. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, поэтому сначала выделим целую часть данной функции, деля числитель на знаменатель:

Таким образом  Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

Последний интеграл найдем отдельно. Для этого выделим полный квадрат 

Введем новую переменную    тогда получим интеграл:

Разложим полученный интеграл на сумму двух интегралов:

Здесь мы использовали формулу (1.4).

Следовательно,

Возвращаясь к данному интегралу, окончательно получаем

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь знаменатель которой разложен на множители   где  можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей

 (1.7)

где некоторые действительные коэффициенты.

Действительные коэффициенты можно определить из следующих положений. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приводя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителе справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов . Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях . Придавая  частные значения, получим уравнения для определения коэффициентов.

Пример 24. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью (степень многочлена числителя, равная единице, меньше степени многочлена знаменателя, равной двум), причем знаменатель дроби разложен на не повторяющиеся множители, имеющие действительные корни.

Разложим данную дробь  на простейшие дроби:

Приведем дроби к общему знаменателю, а затем приравняем многочлены в числителях справа и слева:

 

Приравнивая коэффициенты при  и (свободный член), получим систему уравнений для определения коэффициентов:

 

Тогда данная дробь примет вид:

Подставляя правую часть последнего равенства в данный интеграл, получим:

Пример 25. Найти интеграл

Решение. Степень многочлена числителя равна двум, а знаменателя – четырем. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Для нахождения неопределенных коэффициентов воспользуемся методом частных значений аргумента придавая ему четыре различных значения (так как требуется найти четыре коэффициента):

при  получим  

при   

при     

при    

  

Решим систему уравнений:

Получили 

Подынтегральная функция примет вид:

Проинтегрируем правую часть полученного равенства, используя свойства и таблицу неопределенных интегралов:

Пример 26. Найти интеграл 

Решение. Разложим знаменатель правильной дроби на множители:

.

 В последнем множителе дискриминант

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приведем к общему знаменателю обе части равенства и приравняем многочлены числителей:

 При  

  

    

  

   

  

  

Решим систему уравнений:

Получили

Тогда подынтегральная функция примет вид:

Проинтегрируем правую часть последнего равенства:

Найдем отдельно последний интеграл. Выделим полный квадрат:   Введем новую переменную

Используя равенство (1.4), получим:

Тогда  Возвращаясь к данному интегралу, окончательно получим:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.  5.  

6.  7.   8.  9.

10.  11.   12.

13.  14.   15.

16.  17.   18.

Ответы. 1.  2.  3.

4.  5.   6.  

7.  8.   9.

10.  11.  

12.  13.

14.

15.  

16.  

17.  

18.  

Примеры решения задач по математике