Дифференциальные уравнения

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Однородные уравнения.

Определение. Уравнение (1) называется однородным, если  может быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е. . (2)

Таким образом, однородное уравнение имеет вид:  (3)

Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл:  . (4)

Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что . Рассмотрим тот случай, когда . Здесь имеются две возможности.

а)  Тогда   и уравнение (3) принимает вид: .

Это уравнение с разделяющимися переменными  и здесь никаких преобразований делать не нужно.

б) уравнение  удовлетворяется лишь при определенных значениях . В этом случае могут быть потеряны решения . Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Уравнение однородное. Полагаем .

Если , то . Отсюда .

 – общий интеграл.

Может быть потеряно решение  или .

Действительно,  есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значении С, следовательно  есть особое решение.

Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.

Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3) . (6)

(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам ; выбирая  и  такими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргумента  в (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.

На www.ortomol.ru ортомол официальный сайт.
Примеры решения задач по математике