Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Основные методы интегрирования

Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам (если это возможно), называется непосредственным интегрированием.

Рассмотренные в предыдущем пункте примеры были решены именно этим методом.

Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования (метод подстановки), в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла  можно заменить переменную   новой переменной  связанной с  подходящей формулой  Определив из этой формулы  и подставляя, получим

Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования  будет найден, то преобразовав результат к переменной пользуясь исходной формулой  получим искомое выражение заданного интеграла.

Пример 8. Найти интеграл

Решение. Пусть  или  тогда  

Согласно соотношению (1.4)  получаем

Возвращаясь к исходной переменной интегрирования  окончательно получаем:

Можно найти данный интеграл иначе:

пусть  Отсюда     Тогда получим:

Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба результата правильные, так как, согласно теореме 2, две первообразные от данной подынтегральной функции отличаются на некоторую константу.

Пример 9. Найти интеграл

Решение.

Пусть     

тогда получим

Пример 10. Найти интеграл

Решение. Обозначим  тогда  дифференцируем обе части равенства,    

Пример 11. Найти интеграл

Решение. Берем подстановку   дифференцируем обе части равенства     а так как  тогда  Получаем:

Пример 12. Найти интеграл

Решение. Беря подстановку  получаем  

Подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной

 Пример 13. Найти интеграл

Решение. Полагаем  тогда      Подставляем в подынтегральное выражение и интегрируем:

Выделим целую часть подынтегральной функции:

тогда 

Найдем  Для этого введем новую переменную    Полученные результаты подставим в подынтегральное выражение и проинтегрируем:

Возвращаясь к данному интегралу, получаем:

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Освоить применение этого метода интегрирования можно только одним способом – решая как можно больше примеров.

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1.  2.   3.  4.  

5.  6.   7.  8.  9.  10.  11.  12.  

13.  14.   15.  

 16.  17.   18.  

19.  20.  

Ответы. 1.  2.  

3.  4.   5.  6.  7.  8.  

9.  10. 

11.  12.   13.  14.  15.  16.  

17.  18.   19.  20.

Примеры решения задач по математике