Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Неопределенный интеграл

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции   найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию   зная её производную   (или дифференциал). Искомую функцию  называют первообразной функции

Определение. Функция  называется первообразной функцией для функции   на интервале  если для любого  выполняется равенство

  (или ). (1.1.)

Например, для функции  первообразной будет функция  или  так как

или

Поэтому первообразными будут также любые функции

где постоянная.

Теорема 1. Если функция  является первообразной для функции  на интервале то множество всех первообразных для  задается формулой

  (1.2.)

где постоянное число.

Теорема 2. Если  и две первообразные для функции  на интервале то  на  где некоторая константа.

Определение. Множество всех первообразных функций  для  на интервале  называется неопределенным интегралом функции  и обозначается символом

Таким образом, по определению

  (1.3.)

Здесь  называется подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, переменной интегрирования, знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых  (каждому числовому значению соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на интервале  функция имеет на этом интервале первообразную», а следовательно, и неопределенный интеграл.

1.2. Свойства неопределенного интеграла

(правила интегрирования)

Свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

где постоянная,

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

6.(Инвариантность формулы интегрирования). Если  то и  где произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Это свойство говорит о том, что формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неё, имеющей непрерывную производную.

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, и зная таблицу производных (или таблицу дифференциалов), нетрудно составить таблицу основных неопределенных интегралов.

1.  2. 3.  

4.  5.   6.

7.  8.   9. 10.  11.

12. 13.  

14.  15.

16.  17.   18.  19. 20.

В приведенной таблице основных интегралов переменная интегрирования  может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования). Достаточно часто интегрируя те или иные функции, пользуются следующими соотношениями:

 1.  (1.4)

 2.  (1.5)

где  и постоянные,

Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования (согласно первому или второму свойствам неопределенного интеграла).

В простейшем случае, когда заданный интеграл представляет одну из формул интегрирования, задача интегрирования сводится к простому применению этих формул.

Пример 1. Найти интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию  тогда

Проверка. Найдем дифференциал полученной функции:

Сравнивая полученный дифференциал с подынтегральным выражением данного интеграла, убеждаемся в том, что интеграл найден верно (согласно второму свойству неопределенного интеграла).

Пример 2. Найти неопределенный интеграл  и проверить результат дифференцированием.

Решение. Так как  тогда получим

Проверка. Найдем производную от полученного результата:

Совпадение полученного результата с подынтегральной функцией говорит о том, что неопределенный интеграл найден верно (согласно первому свойству).

Пример 3. Найти неопределенный интеграл

Решение. В знаменателе подынтегральной функции общий множитель   вынесем за скобку, тогда постоянный множитель подынтегральной функции  вынесем за знак интеграла (используем четвертое свойство):

Воспользуемся формулой 20 таблицы интегралов, где  тогда получим:

Пример 4. Найти неопределенный интеграл 

Решение. Так как  тогда получим:

Пример 5. Найти неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Тогда получим (согласно пятому свойству)

Пример 6. Найти неопределенный интеграл

Решение.

Используя преобразованный вид функции и свойства интегралов, получим:

Пример 7. Найти неопределенный интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

Данный интеграл будет равен:

Задания для самостоятельного решения

Найти интегралы

1.  2.   3.

4.  5.   6.  7.

8.  9.   10.  11.

12.  13.   14.

15.  16.   17.

18.  19.   20.

Ответы. 1. 2.

3.  4.   5.  6.

7.  8.   9.

10.  11.   12.

13.  14.   15.

16.  17.   18.  

19.  20.

Примеры решения задач по математике