Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость.

а) .

Решение. Предполагаемая особая точка . Имеем

. Таким образом,

. (25)

Очевидно, что в некоторой окрестности точки  функция  имеет производные любого порядка. Так как . То из (25) следует, что либо интеграл  несобственный и он сходится (см. пример 3), либо точка  не является особой точкой функции  и она интегрируема в смысле Римана, т.е. интеграл  собственный.

Так как , то, используя правило Лопиталя, имеем

.

Напомним, что в некоторой окрестности точки  функция  непрерывна, и значит, ограничена. Следовательно, точка  не является особой точкой подынтегральной функции.

Ответ: интеграл  собственный.

б) .

Решение.  - предполагаемая особая точка. Имеем

. (26)

Функцию  разложим по формуле Маклорена:

. (27)

Обозначим . Тогда . Отсюда  (проверить) и

. (28)

Используя формулу (28), получим

.

Отсюда и из формулы (27) следует

. (29)

Из формул (26) и (29) имеем , что дает нам (см. пример 3)

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

в) .

Решение. Используя формулу (29), имеем

.

Отсюда и из примера 3 следует

Ответ: интеграл  несобственный и он расходится.

г) .

Решение. Предполагаемая особая точка .

Обозначим , здесь . Функция  определена при . Так как , то, полагая

,

получим непрерывную функцию (даже имеющую производные любого порядка - проверить). Разлагая  по формуле Маклорена, получим

.

Учитывая, что , отсюда получим . Тогда . Значит,

.

Отсюда следует

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

д) .

Решение. Очевидно, что интеграл  несобственный интеграл 1-го рода. Остается выяснить, сходится ли он. Имеем . Так как 

, то отсюда получим , что дает нам

Ответ: интеграл  несобственный и он сходится.

е) .

Решение. Предполагаемая особая точка . Сделаем замену переменной . Получим

. (30)

Учитывая, что , получим

. Отсюда

. (31)

 Из (30) и (31) следует

Ответ: интеграл  является собственным.

Задача 10. Получить рекуррентную формулу для интеграла  и вычислить его.

.

Решение. Сделаем замену переменной  и обозначим . Получим

. (32)

Имеем

. (33)

Интеграл  интегрируем по частям:

. (34)

Подставляя (34) в (33), получим рекуррентную формулу

. (35)

Применяя формулу (35)  раз, имеем

. (36)

Объединяя (36) и (32), получим

Ответ: .

Примеры решения задач по математике