Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость.

а) .

Решение. Исследуем интеграл  на абсолютную сходимость. Обозначим

.

Особая точка подынтегральной функции . Поэтому интеграл  разобьем на два интеграла

. (17)

Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода. Имеем

 при . Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получаем, что интеграл  сходится (см. пример 3).

Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Имеем

.

Используя теорему сравнения и результат примера 1, отсюда получаем, что интеграл  сходится.

Таким образом, эти результаты и (17) дают, что интеграл  сходится. Значит,

Ответ: интеграл  сходится абсолютно.

б) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка . Сделаем замену переменной . Это возможно, так как

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

 а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

 б) строго убывает;

 в) .

Тогда

. (18)

 - несобственный интеграл 1-го рода. По признаку Дирихле интеграл  сходится, так как:

1) функция  непрерывна на промежутке  и ее первообразная  ограничена;

2)  непрерывно дифференцируема на промежутке  и ;

3) .

Итак, интеграл  сходится, а значит, сходится и интеграл .

Докажем теперь, что интеграл  расходится. Имеем

.

Известно, что интеграл  расходится (см. пример 1). По признаку Дирихле интеграл  сходится (доказывается точно так же, как сходимость интеграла  - см. выше). Таким образом, интеграл  расходится. Так как , то по теореме сравнения интеграл  также расходится.

Следовательно, интеграл  сходится условно, и значит (см. (18)),

Ответ: интеграл  сходится условно.

в) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Используя признак Дирихле, докажем, что он сходится. Действительно,

.

Выполняются следующие условия:

1) функция  непрерывна на промежутке ; ее первообразная  ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает ;

3) .

Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл  расходится.

Таким образом, получаем

Ответ: интеграл  сходится условно.

г) .

Решение. Имеем . Поэтому точка  не является особой точкой подынтегральной функции. Значит, интеграл  является несобственным интегралом 1-го рода.

Так как функция  не является непрерывной в точке , то для дальнейшего исследования интеграл  разобьем на два интеграла:

. (19)

Если подынтегральную функцию доопределить нулем в точке , то она становится непрерывной на отрезке . Следовательно,  - интеграл Римана и он существует.

Что касается интеграла , то его мы исследуем на абсолют ную и условную сходимость.

Докажем сначала, используя признак Дирихле, что интеграл  сходится. Действительно,

1) функция  непрерывна на промежутке ; ее первообразная  (проверить) - ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает ;

3) .

Рассмотрим теперь интеграл .

Имеем . Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл  расходится. Следовательно, по теореме сравнения интеграл  расходится.

Таким образом, мы имеем: интеграл  расходится, а интеграл  сходится. Отсюда следует, что интеграл   сходится условно.

Учитывая (19) и то, что интеграл Римана  существует, отсюда получаем

Ответ: интеграл  сходится условно.

д) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка .

. Пусть . Имеем . Известно, что  сходится при  (см. пример 3). Следовательно, по теореме сравнения интеграл  сходится, а значит, интеграл  сходится абсолютно при .

. Пусть теперь . В интеграле  сделаем замену переменной , или . Это возможно, так как

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

 а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

 б) строго возрастает;

в) .

Тогда

. (20)

) Докажем сначала, что интеграл  расходится при . Используем следствие из критерия Коши:

если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство

, (21)

то интеграл  расходится.

Имеем

, (22)

Если , то . Имеют место неравенства . Отсюда и из (22) получим

. (23)

Теперь в (21) положим . Используя (23), имеем

.

Напомним, что .

Таким образом, для любого  существуют  такие, что выполняется неравенство (21) при .

Итак, при  интеграл  расходится, а значит, расходится и интеграл  (см. (20)).

) Докажем теперь, что интеграл  сходится условно при .

Для доказательства сходимости интеграла  используем признак Дирихле:

1) функция  непрерывна на промежутке  и ее первообразная  ограничена;

2) функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и монотонно убывает; действительно,

 

отсюда следует, что возрастает, следовательно,  убывает;

3) .

Тогда интеграл  сходится.

Докажем теперь, что интеграл  расходится . Из (23) имеем

. (24)

Известно, что интеграл  расходится при  (см. пример 1), а интеграл  сходится при . Следовательно, интеграл  расходится при . Отсюда, из (24) и теоремы сравнения следует, что интеграл  расходится при .

В результате имеем: интеграл  сходится, а интеграл  расходится. Значит, интеграл  сходится условно, а вместе с ним сходится условно и исходный интеграл  при  (доказать).

Ответ: интеграл  сходится абсолютно при , сходится условно при , расходится при .

е) .

Решение. При  точка  является особой точкой подынтегральной функции. Поэтому представим интеграл  в виде .

Рассмотрим интеграл . Имеем  при . Отсюда следует, что интеграл  расходится при  (см. пример 3). Тогда независимо от поведения остальных интегралов отсюда получаем, что интеграл  расходится при .

Пусть теперь . Рассмотрим интеграл . Имеем . Отсюда следует, что интеграл  расходится при  (см. пример 1). Это означает, что интеграл  расходится при .

Ответ: интеграл  расходится при любом действительном .

Примеры решения задач по математике