Математика примеры решения задач Интегралы

КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Теорема 2 (критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл  сходился, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

.

Следствие. Если существует такое , что для любого  существуют такие , что выполняется неравенство , то интеграл  расходится.

5. АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ.

Обозначим  - несобственный интеграл, .

Определение 8. Несобственный интеграл  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .

Определение 9. Несобственный интеграл  называется условно сходящимся, если интеграл  расходится, а интеграл  сходится.

Теорема 3. Если несобственный интеграл  сходится, то интеграл  также сходится и имеет место неравенство

.

6. ПРИЗНАКИ ДИРИХЛЕ И АБЕЛЯ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ.

Теорема 4 (признак Дирихле). Пусть функция  непрерывна, а функция  непрерывно дифференцируема на промежутке  и выполняются следующие условия:

1) функция  ограничена на ;

2) функция  не меняет знака на промежутке , т.е.  или  на ;

3)

Тогда интеграл  сходится.

Следствие (признак Абеля). Пусть:

 1) функция  непрерывна на промежутке ;

 2) интеграл  сходится;

 3) функция  ограничена на промежутке ;

 4) функция  непрерывна и не меняет знака на промежутке .

Тогда интеграл  сходится.

7. ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

Определение 10. Пусть функция  определена при  и интегрируема на любом отрезке . Если существует конечный , то он называется главным значением в смысле Коши интеграла  и обозначается v.p..

Замечание 1. Если несобственный интеграл  сходится, то главное значение этого интеграла существует и равно этому интегралу:

v.p. .

Обратное, вообще говоря, не имеет места.

Замечание 2. Если функция  нечетна, то главное значение интеграла от нее существует и равно нулю.

Определение 11. Пусть функция  определена на множестве  - особая точка функции. Пусть, кроме того, функция  интегрируема на любом отрезке . Если существует конечный , то он называется главным значением в смысле Коши интеграла  и обозначается v.p..

Отметим, что для таких интегралов также справедливо замечание 1.

Примеры решения задач по математике