Дифференциальные уравнения

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Уравнения с разделяющимися переменными.

Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

А. Уравнение с разделенными переменными

Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

 (1)

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал.  и  – заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение . (2)

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение.  или  – общий интеграл.

Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию  будет функция, определенная из равенства .  (4)

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющего условию

Решение. .

В. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:  (5)

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим: . (6)

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именно  или . (7)

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат ,, … и т.д. Заметим, что константы   служат решениями уравнения (5), т.к.  и .

Общим интегралом (5) будет . (8)

Если решения  получаются из (8) при подходящем выборе С, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию   будет функция , определенная уравнением:

. (9)

Пример. Для уравнения  найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию .

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на .

Отсюда  или  – общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.


Возможна потеря решений . Оба эти решения особые.

Примеры решения задач по математике