Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование тригонометрических функций

 Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

 Интегралы вида J находили в конце прошлого занятия в примерах   где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.

 Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки приводится к интегралу от рациональной дроби.

 Доказательство. Из подстановки следует, что  . Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:

 После замены  их значениями получим интеграл от рациональной дроби относительно t. Подстановка  в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической подстановкой.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. После замены  их значениями, получим

, где , .

 Пример. Найти самостоятельно интеграл .

Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.

Интегралы вида .

Здесь возможны следующие случаи.

 1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:

.

 Пример. Найти интеграл .

Так как  и заменяем .

 После упрощений получим ,

.

 2. Хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число. Тогда применяем метод отщепления от нечетной степени  и используем формулы .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение.

.

 Пример. Решите самостоятельно .

 3. Если m и n – целые отрицательные числа одинаковой четности, то к цели

приводит метод отщепления.

 Пример. .

 Решение. .

 4. В некоторых случаях эффективно использование тождества

или даже .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. 

 ,

 ,

 .

 Интегралы вида , , где m – целое положительное число, находятся с помощью тождеств , .

 Пример.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение.

.

 Следующие три интеграла берутся с помощью известных формул тригонометрии ,

 ,

  .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. 

.

 Подстановка  рекомендуется для нахождения интеграла , а

также в тех случаях, когда в интеграле  числа m и n - четные (положительные или отрицательные). Здесь используются известные формулы тригонометрии: .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. ,

,

. Так как , то окончательно

получим .

 Замечание. Для интегралов  где k- натуральное число, методом интегрирования по частям можно получать рекуррентные соотношения, приведенные в таблице интегралов.

Решить самостоятельно

.

 Выше были рассмотрены основные приемы и формулы для нахождения неопределенных интегралов. Следует отметить, что многие функции не интегрируются в конечном виде. Так, например, функция непрерывна в промежутке , однако, интеграл от нее  (интегральный синус) не выражается  в конечном виде через элементарные функции. То же самое относится к

интегралам  (интегральный косинус),  (интегральный 

логарифм).

 Замечание. Во многих случаях заданный интеграл  может быть найден различными способами. Так, например, интеграл  с помощью подстановки  дает , где , . С другой стороны, если возьмем подстановку , то .

Поэтому .

 Окончательно . Этот результат лишь формой отличается от предыдущего, так как 

 .

Примеры решения задач по математике