Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование иррациональных функций

 Цель занятия - научиться брать интегралы видов:

,

,

.

 Здесь предполагается, что подынтегральная функция f рациональна относительно всех своих аргументов. Эти интегралы находятся по одной схеме: необходимо выбрать подстановку таким образом, чтобы все радикалы исчезли, т. е. чтобы после замены переменной были получены интегралы от рациональных функций относительно новой переменной t .

 В первом случае к цели приводит подстановка , где .

 Пример. .

 Решение. Здесь , поэтому . После замены получим

.

Это интеграл от неправильной рациональной дроби. Разделив числитель на знаме-натель, получим

 Так как , получим .

.

 Так как , , находим

,

.

 Интеграл  берется аналогично: . Тогда .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Здесь полагаем, что .

,

,.Для интеграла  берем подстановку , где . Из подстановки находим х и затем dx. После  замены переменных получим снова интеграл от рациональной дроби.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. . Отсюда находим х и dx: ,

 , ,

 .

После замены переменных получим интеграл от рациональной дроби . Разлагаем дробь на простейшие: , .

Решив систему уравнений, получим ,

.

 Интегрируя почленно, найдем

,,

. Из подстановки следует, что ,

. .

Тригонометрические подстановки

 Интегралы  удобно находить с помощью тригонометрических подстановок. При этом часто используются тригонометрические тождества

.

В интеграле  к цели приводит подстановка , . В итоге получаем интеграл , не содержащий иррациональностей.

При этом возврат к старой переменной «х» проще выполнить с помощью прямоугольного треугольника. Так как , то получаем треугольник со сторонами (теорема Пифагора). Отсюда находится любая тригонометрическая функция.

 
 

 а х

 t

 

 

 Пример. Найти .

 Решение. ,

 а х ,

  , ,

 .

Интеграл находится с помощью подстановки .Тогда ,.

. В качестве упражнения найдите интеграл . Наконец, в интеграле  цель достигается с помощью подстановки .  Тогда 

. Здесь использовалось тождество , откуда . Возврат к старой переменной «х» выполняется также с помощью прямоугольного треугольника.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Полагаем . После замены переменных получим .

Так как .

.

Решить самостоятельно

 Найти интегралы

Примеры решения задач по математике