Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование рациональных дробей

 Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Изучив оба метода интегрирования: замену переменной и интегрирование по частям, перейдем к нахождению интегралов от различных классов элементарных функций.

 Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

.

 В последующем постоянно предполагается, что дробь  несократима, т.е. многочлены   не имеют общих корней. Рациональная дробь  называется правильной, если , и неправильной, если . Рассмотрим несколько примеров.

.

Здесь дробь  правильная, так как ; дробь  также правильная, так как ; дробь  неправильная, так как . Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно получить целую часть этой дроби – многочлен степени , плюс некоторую правильную рациональную дробь. Таким образом, неправильная рациональная дробь представлена в виде

, где - многочлен степени , а - правильная рациональная дробь.

 Пример. Выделить целую часть дроби .

Делим числитель на знаменатель «углом»:

.

 Замечание. В простейших случаях, когда, например, , эту работу можно выполнить быстрее:

 ,

 .

 Поскольку интегрирование многочлена не представляет труда, то по существу, дело сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Для этого потребуются некоторые новые понятия.

 Хорошо известно, что квадратный трехчлен с вещественными корнями  разлагается на линейные  множители: .

В общем случае многочлен степени n разлагается на произведение линейных и квадратных множителей вида

 ,

причем указанные трехчлены не имеют вещественных корней. При этом  говорят, что корень  - простой, корень  имеет кратность к.

 Примеры

 Многочлен  имеет простые вещественные корни

.

 Решение. Многочлен  имеет вещественный простой корень ; двукратный корень .

 Определение. Следующие рациональные дроби называются простейшими первого, второго, третьего и четвертого типов:

.

Здесь - заданные числа,

 В последующем постоянно предполагается, что трехчлен  не имеет

вещественных корней и, следовательно, не разлагается на линейные множители.

 Примеры. Рассмотрим дроби

.

 Здесь - дробь первого типа, причем - дробь второго типа, где . - дробь третьего типа, где , причем трехчлен  вещественных корней не имеет. Дробь   принадлежит к четвертому типом, где .

 Дроби  и принадлежат соответственно к первому и второму типам, причем .

 Теорема о разложении рациональной дроби. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей первого – четвертого типов. При этом если  - простой вещественный корень знаменателя , то в разложении ему соответствует дробь первого типа ; если  - вещественный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:

; если в знаменателе  имеется трехчлен без вещественных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа ; если, наконец, знаменатель  содержит множитель , то в разложении ему соответствует сумма «k» дробей третьего и четвертого типов: .

Таким образом, разложение дроби существенно зависит от того, какие корни имеет знаменатель . Поэтому разложение рекомендуется проводить по следующей схеме.

 1. Найти все корни знаменателя  и определить их кратность.

 2. Написать разложение  на линейные и квадратные множители.

 3. Написать сумму простейших дробей в соответствии с полученным разложе-нием знаменателя.

 Пример 1. Разложить дробь .

 Решение. Здесь знаменатель имеет разложение  . Отсюда следует, что  - простой вещественный корень, ему соответствует дробь ; - вещественный двукратный корень, ему соответствует сумма дробей . Поэтому данная дробь представлена суммой .

 Пример 2. Разложить дробь .

 Решение. Здесь , причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому  .

 Пример 3. Разложить дробь .

 Решение. Здесь знаменатель 

имеет вещественные простые корни: . Двучлен  веществен-ных корней не имеет: если , то . Поэтому разло-жение дроби имеет вид 

 .

Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов разложения:  А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.

 Первый способ. Дробь  представлена в виде

 .

Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.

. Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е. при любых значениям «х».

Пусть, например,  при  при . Таким образом, получили разложение дроби .

 Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.

 Второй способ покажем на следующем примере:

,

. В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда  или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  х и свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С: . Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим . Подставим эти значения во второе равенство: . Получаем разложение дроби .

 Замечание. Результат вычислений всегда можно проверить. Так, в последнем примере .

 Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь  на простейшие и проинтегрировав полученное  равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:

Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:

.

Третий интеграл был рассмотрен выше.

 Рассмотрим подробнее интеграл , . Так как , чи-слитель представляем в виде , . Интеграл  степенной, так как

.

Для нахождения интеграла  выделим из трехчлена полный квадрат:

.

Тогда . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки 

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Так как , получим .

Тогда  .

. Полагая в формуле  (15) , получим

, где ,

. Окончательно находим

Для сравнения найдем , где  с помощью подстановки . Тогда . Поэтому 

. Так как ,  получим

,. Из подстановки следует, что ,

,

.

 Решить примеры

 .

Примеры решения задач по математике