Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование по частям

 Цель занятия – научиться пользоваться формулой  и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

 Если заданный интеграл  не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение  разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл  был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.

 1. Интегралы, содержащие произведение многочлена  на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида

 

Так как интегралы от  по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен . От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что . Приведем примеры.

 ,

Окончательно можно записать:

,

.

 Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,

т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.

 2. Так называемые циклические интегралы. К ним относятся интегралы вида

.

В интегралах  и  надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить

по-разному. Найдем, например, интеграл .

.

Повторяем этот процесс.

.

.

Здесь в правой части находится исходный интеграл .

. Решив это уравнение относительно , найдем , .

 Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой

. Для нахождения интегралов  достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,

Так как , то , поэтому

,

.Отсюда следует,  что

. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) – (14).

 3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании с многочленами: 

 Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем  .

,

Полученный интеграл снова берем по частям.

Окончательно получаем ,

.

 Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл  относится к числу  циклических. Действительно, полагая

 получим 

.

Полученный интеграл снова находим по частям

.

Итак, .

Отсюда , .

 Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,

.

Интегрируя по частям трижды, находим, что

. После подстановки

.

Примеры решения задач по математике