Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование по формулам. Способ подстановки

 Цель занятия – усвоить шестую группу формул; овладеть методом замены переменной; научиться брать интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

 1.К шестой группе формул относятся интегралы функций

 где . В каждом примере надо определить, чему равно  и  , найти  и сделать необходимую поправку. Обратите внимание на форму записи.

 Примеры.

.

Последний интеграл степенной, так как , если

, поэтому

.

.

Первый интеграл степенной: , где . Второй интеграл также степенной, его можно найти в примере . Поэтому

.

 Упражнение. Решить примеры.

Интегрирование методом замены переменной

 При использовании формул 

необходимо помнить, что все фигурирующие здесь функции  должны быть непрерывными.

 Успех интегрирования целиком зависит от того, насколько удачно выбрана подстановка . По крайней мере, надо понимать, что после такой подстановки необходимо получить один из табличных интегралов. Например,

Теперь вернемся к старой переменной х. При , , так как , поэтому .

Из подстановки следует, что , поэтому .

В некоторых примерах подстановка  не приводит к цели. Тогда в качестве новой переменной t выбирают часть подынтегральной функции, например,

.

Полагая здесь , по формуле (6) получаем

.

Возвращаясь к старой переменной х, получим .

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен

 

 .

Интеграл  путем выделения из трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (5) - (7). Пусть, например, надо найти интеграл . Так как ,

найдем

 Замечание. Здесь использовалась известная формула .

Если в знаменателе стоит неприведенный трехчлен, то старый коэффициент рекомендуется вынести за знак интеграла, например:

 В интеграле  производная знаменателя равна  - многочлен первой степени, как и числитель . Поэтому числитель представляем в форме , причем числа М и N находим из условий,  что . Тогда . Первый из этих интегралов – табличный , где . Второй интеграл – только что найденный интеграл .

 Пример. .

 Решение. Так как , полагаем , откуда  

, так как ,

,

.

Интеграл  после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (7), (9), (10) . Так как , . Интеграл  находится подобно интегралу . Выделив из трехчлена полный квадрат, получим

. Первый из них – это табличный интеграл (3)  а второй – только что найденный интеграл .

. Так как , получим , откуда .

, так как

.

 (формула (10)).

 Замечание. Нахождение чисел М и N основано на известном свойстве многочленов: два многочлена степени «u» тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях «х» и равны их свободные члены. Поэтому из условия  следует, что , откуда т. е.  . Впрочем в интегралах  и  выделение из числителя дифференциала трехчлена можно провести прямым путем. Пусть, например, надо найти интеграл . Здесь .

Поэтому

.

Упражнение

 Найти интегралы

.

Примеры решения задач по математике