Математика примеры решения задач Интегралы

Интегрирование по формулам. Способ подстановки

 Цель занятия – усвоить шестую группу формул; овладеть методом замены переменной; научиться брать интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

 1.К шестой группе формул относятся интегралы функций

 где . В каждом примере надо определить, чему равно  и  , найти  и сделать необходимую поправку. Обратите внимание на форму записи.

 Примеры.

.

Последний интеграл степенной, так как , если

, поэтому

.

.

Первый интеграл степенной: , где . Второй интеграл также степенной, его можно найти в примере . Поэтому

.

 Упражнение. Решить примеры.

Интегрирование методом замены переменной

 При использовании формул 

необходимо помнить, что все фигурирующие здесь функции  должны быть непрерывными.

 Успех интегрирования целиком зависит от того, насколько удачно выбрана подстановка . По крайней мере, надо понимать, что после такой подстановки необходимо получить один из табличных интегралов. Например,

Теперь вернемся к старой переменной х. При , , так как , поэтому .

Из подстановки следует, что , поэтому .

В некоторых примерах подстановка  не приводит к цели. Тогда в качестве новой переменной t выбирают часть подынтегральной функции, например,

.

Полагая здесь , по формуле (6) получаем

.

Возвращаясь к старой переменной х, получим .

Интегралы, содержащие квадратный трехчлен

 

 .

Интеграл  путем выделения из трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (5) - (7). Пусть, например, надо найти интеграл . Так как ,

найдем

 Замечание. Здесь использовалась известная формула .

Если в знаменателе стоит неприведенный трехчлен, то старый коэффициент рекомендуется вынести за знак интеграла, например:

 В интеграле  производная знаменателя равна  - многочлен первой степени, как и числитель . Поэтому числитель представляем в форме , причем числа М и N находим из условий,  что . Тогда . Первый из этих интегралов – табличный , где . Второй интеграл – только что найденный интеграл .

 Пример. .

 Решение. Так как , полагаем , откуда  

, так как ,

,

.

Интеграл  после выделения из квадратного трехчлена полного квадрата приводится к одному из табличных интегралов (7), (9), (10) . Так как , . Интеграл  находится подобно интегралу . Выделив из трехчлена полный квадрат, получим

. Первый из них – это табличный интеграл (3)  а второй – только что найденный интеграл .

. Так как , получим , откуда .

, так как

.

 (формула (10)).

 Замечание. Нахождение чисел М и N основано на известном свойстве многочленов: два многочлена степени «u» тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях «х» и равны их свободные члены. Поэтому из условия  следует, что , откуда т. е.  . Впрочем в интегралах  и  выделение из числителя дифференциала трехчлена можно провести прямым путем. Пусть, например, надо найти интеграл . Здесь .

Поэтому

.

Упражнение

 Найти интегралы

.

Примеры решения задач по математике