Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Интегрирование по формулам

 Цель занятия – усвоить и запомнить формулы 1-4 групп, прежде всего формулы (1) - (3) интегралов от степенных функций. Основная формула (1)

, показывает, что  при интегрировании степени ее

показатель возрастает на одну единицу. Так, например, 

.

 Приведем более сложный пример: 

 .

Здесь воспользовались известным разложением .

Разделив числитель на знаменатель, получим

 ,

 ,

 ,

 .

Интеграл  можно найти двумя способами. Так как , по свойству 8 при  и  находим

.

 Другой способ. Полагая здесь , получим

Говорят, что интеграл поправлен на 1/7, иначе говоря, под знак дифференциала подведено основание 7х – 5, чтобы получить точно табличную формулу (1).

 Рассмотрим интеграл . Полагая здесь , , получим

. Формулы (2) и (3) суть частные случаи основной формулы (1) при  и . Их рекомендуется запомнить, так как они будут часто встречаться в последующем. Приведем примеры.

 Так как ,  (по свойству 6 неопределенного интеграла),  (свойство 8). Аналогично ,, поскольку . Во- обще свойства 6 - 8 неопределенного интеграла надо хорошо усвоить. Это позволяет находить простейшие интегралы самым коротким способом. Приведем еще несколько примеров.

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

 Теперь обратимся к формуле (4): . Она применяется в тех случаях, когда в числителе стоит дифференциал знаменателя, точнее, когда в числителе может быть получен дифференциал знаменателя. Приведем примеры.

. Так как , то

,

.

 Рассмотрим интеграл от показательной функции и ее частный, но очень важный случай - интеграл от экспоненты:

 

 (свойство 6),

 (свойство 8),

 Здесь , поэтому

,

. Здесь , поэтому

.

 Замечание. Поскольку операция интегрирования является обратной по  отноше-нию к операции дифференцирования, полученный ответ всегда можно  проверить. Для этого его надо продифференцировать и показать, что получится подынтеграль-ная функция. Так, в последнем примере .

 Обратимся к интегрированию гиперболических функций.

 Найти интеграл .

Так как , получим 

.

 Найти интеграл .

Упражнения (устно)

 Дайте ответы в следующих примерах.

 

.

Упражнение

 Найти следующие интегралы.

 

  

Задание на дом

Примеры решения задач по математике