Математика примеры решения задач Интегралы

Интегрирование по формулам

 Цель занятия – усвоить и запомнить формулы 1-4 групп, прежде всего формулы (1) - (3) интегралов от степенных функций. Основная формула (1)

, показывает, что  при интегрировании степени ее

показатель возрастает на одну единицу. Так, например, 

.

 Приведем более сложный пример: 

 .

Здесь воспользовались известным разложением .

Разделив числитель на знаменатель, получим

 ,

 ,

 ,

 .

Интеграл  можно найти двумя способами. Так как , по свойству 8 при  и  находим

.

 Другой способ. Полагая здесь , получим

Говорят, что интеграл поправлен на 1/7, иначе говоря, под знак дифференциала подведено основание 7х – 5, чтобы получить точно табличную формулу (1).

 Рассмотрим интеграл . Полагая здесь , , получим

. Формулы (2) и (3) суть частные случаи основной формулы (1) при  и . Их рекомендуется запомнить, так как они будут часто встречаться в последующем. Приведем примеры.

 Так как ,  (по свойству 6 неопределенного интеграла),  (свойство 8). Аналогично ,, поскольку . Во- обще свойства 6 - 8 неопределенного интеграла надо хорошо усвоить. Это позволяет находить простейшие интегралы самым коротким способом. Приведем еще несколько примеров.

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

, так как здесь .

 Теперь обратимся к формуле (4): . Она применяется в тех случаях, когда в числителе стоит дифференциал знаменателя, точнее, когда в числителе может быть получен дифференциал знаменателя. Приведем примеры.

. Так как , то

,

.

 Рассмотрим интеграл от показательной функции и ее частный, но очень важный случай - интеграл от экспоненты:

 

 (свойство 6),

 (свойство 8),

 Здесь , поэтому

,

. Здесь , поэтому

.

 Замечание. Поскольку операция интегрирования является обратной по  отноше-нию к операции дифференцирования, полученный ответ всегда можно  проверить. Для этого его надо продифференцировать и показать, что получится подынтеграль-ная функция. Так, в последнем примере .

 Обратимся к интегрированию гиперболических функций.

 Найти интеграл .

Так как , получим 

.

 Найти интеграл .

Упражнения (устно)

 Дайте ответы в следующих примерах.

 

.

Упражнение

 Найти следующие интегралы.

 

  

Задание на дом

Примеры решения задач по математике