Математика примеры решения задач Две задачи математического анализа

 Первая задача состоит в отыскании производной от заданной функции . Напомним, что с помощью производной решаются многие задачи математики и физики. Так, например, если точка движется по закону , где t – время, а S – пройденный путь, то скорость движения  есть производная от пути по времени, т. е. , а ускорение  равно . Если масса неоднородного стержня изменяется по закону , то его плотность в точке х есть производная . В геометрии с помощью производной решается задача о проведении касательных к заданным кривым. Эти примеры можно продолжить.

 Теперь обратимся к обратной задаче: как по заданной производной восстановить саму функцию ?

 Как, например, зная скорость движения , найти закон изменения пройденного пути ? Как найти массу стержня переменной плотности ? В общем случае задача ставится следующим образом: пусть задана функция , производная от которой совпадает с заданной функцией: . Такая функция   называется первообразной функции . Так, например, если , то , так как . Если , то , так как . Обратите внимание на то, что для заданной функции   первообразных существует бесконечно много, так как  есть некоторая первообразная . Любая функция вида , где , есть также первообразная , так как .

 В силу этого множество всех первообразных заданной функции   принято обозначать символом   и называть неопределенным интегралом от функции . Итак, по определению, .

 Примеры., так как .

 , так как .

 , так как .

Приступая к изучению неопределенного интеграла, следует обратить внимание на то, что

 1) эта операция многозначная;

 2) в техническом отношении интегрирование для студентов представляется более сложным, чем отыскание производных. Чтобы научиться интегрировать, нужна практика. Только решение большого числа разнообразных примеров позволит выработать некоторые навыки в интегрировании;

 3) обратите внимание на запись интеграла. Здесь под знаком интеграла стоит дифференциал аргумента функции . Если же задана сложная функция , где , то все формулы интегрирования имеют смысл только в том случае, когда под знаком интеграла стоит дифференциал . Это обстоятельство нужно иметь в виду постоянно. В формуле  будем подразумевать, что ищется интеграл от сложной функции , где , х – независимая переменная;

 4) существуют шесть тригонометрических функций:

. Последние две функции определяются как величины, обратные по отношению к , т. е. .

Это позволяет известные формулы тригонометрии

 записывать в целом виде:

.

 Таблицы производных и интегралов поэтому имеют более простой вид.  При интегрировании гиперболических функций , ,  следует помнить основные формулы, связывающие их: , а также формулы понижения ;

 5) поскольку операции дифференцирования и интегрирования тесно связаны, ниже приводятся основные свойства производной и формулы дифференцирования, а далее – аналогичный материал, касающийся неопределенного интеграла.

Основные правила дифференцирования

 1. .

 2. независимая переменная.

 3. , где .

 4. , .

 5. ,

.

 6. .

 7. Производная сложной функции. Если , где .

 8. Дифференциал функции. Если .

Таблица производных

 1. Производная степенной функции 

. Частные случаи :  .

 2. Производная показательной функции ,

, так как , так как .

 3. Производная логарифмической функции 

, так как , так как .

 4. Производные тригонометрических функций

;

;

.

 5. Производные обратных тригонометрических функций:

 ,

 .

 6. Производные гиперболических функций:

 

 .

Примеры решения задач по математике