Математика примеры решения задач РЯДЫ

РЯДЫ

1. Числовые ряды. Сумма ряда. Действия над сходящимися рядами. Необходимый признак сходимости.

2. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

 Пусть дана числовая последовательность . Числовым рядом называется выражение вида

 Числа  называют членами ряда,  – общий член ряда.

 Сумму  первых членов ряда называют – ой частичной суммой ряда и обозначают

.

 Если существует конечный предел , то ряд называют сходящимся, а число  называют его суммой. Если последовательность  не имеет конечного предела при , то говорят что ряд расходится.

 Необходимый признак сходимости. Если ряд  сходится, то .

 Следствие (достаточное условие расходимости). Если   или не существует, то ряд   расходится.

 Пример 6.1. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

.

Согласно следствию ряд расходится.

б) .

=

.

Согласно следствию ряд расходится.

6.1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовой ряд называется знакоположительным, если его члены .

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1. Признаки сравнения.

Простой признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , , причем  для любых . Тогда из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , . Если

, где ,

то ряды сходятся или расходятся одновременно.

 Замечание. При использовании признаков сравнения в качестве рядов, с которыми проводится сравнение исходного ряда, часто используются следующие:

 а) ряд геометрической прогрессии , который сходится при  и расходится при ;

 б) обобщенный гармонический ряд , который сходится при  и расходится при .

Пример 6.2. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

 Используем простой признак сравнения. Так как   и ряд  сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем , то исходный ряд также сходится.

б) .

Используем предельный признак сравнения.

 Здесь . Для сравнения возьмем гармонический ряд с общим членом . Тогда

,

т.е. предел конечен и отличен от нуля. Так как гармонический ряд расходится, то исходный ряд также расходится.

2. Признак Даламбера. Пусть дан знакоположительный ряд  и существует конечный или бесконечный предел

.

 Тогда ряд сходится при  и расходится при . При  ряд может как сходится, так и расходится.

 Пример 6.3. Исследовать на сходимость ряд

.

 Применим признак Даламбера

 ,

.

По признаку Даламбера ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Пусть дан знакоположительный ряд   и существует конечный или бесконечный предел

 .

Тогда ряд сходится при  и расходится при . При  ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 6.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Коши:

.

По радикальному признаку Коши ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши. Пусть дан знакоположительный ряд . Если функция  непрерывна, монотонно убывает на промежутке , и   для любых , то несобственный интеграл   и ряд  сходятся или расходятся одновременно.

Пример 6.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Пусть  –непрерывная, монотонно убывающая на промежутке   функция, .

,

т.е. несобственный интеграл расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится.

все Новые поступления,для наращивания ногтей кисти для дизайна ногтей кисти и наборы ju.
Примеры решения задач по математике