Математика примеры решения задач РЯДЫ

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

РЯДЫ

1. Числовые ряды. Сумма ряда. Действия над сходящимися рядами. Необходимый признак сходимости.

2. Знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

 Пусть дана числовая последовательность . Числовым рядом называется выражение вида

 Числа  называют членами ряда,  – общий член ряда.

 Сумму  первых членов ряда называют – ой частичной суммой ряда и обозначают

.

 Если существует конечный предел , то ряд называют сходящимся, а число  называют его суммой. Если последовательность  не имеет конечного предела при , то говорят что ряд расходится.

 Необходимый признак сходимости. Если ряд  сходится, то .

 Следствие (достаточное условие расходимости). Если   или не существует, то ряд   расходится.

 Пример 6.1. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

.

Согласно следствию ряд расходится.

б) .

=

.

Согласно следствию ряд расходится.

6.1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Числовой ряд называется знакоположительным, если его члены .

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

1. Признаки сравнения.

Простой признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , , причем  для любых . Тогда из сходимости ряда  следует сходимость ряда , а из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда , . Если

, где ,

то ряды сходятся или расходятся одновременно.

 Замечание. При использовании признаков сравнения в качестве рядов, с которыми проводится сравнение исходного ряда, часто используются следующие:

 а) ряд геометрической прогрессии , который сходится при  и расходится при ;

 б) обобщенный гармонический ряд , который сходится при  и расходится при .

Пример 6.2. Исследовать на сходимость ряды.

а) .

 Используем простой признак сравнения. Так как   и ряд  сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем , то исходный ряд также сходится.

б) .

Используем предельный признак сравнения.

 Здесь . Для сравнения возьмем гармонический ряд с общим членом . Тогда

,

т.е. предел конечен и отличен от нуля. Так как гармонический ряд расходится, то исходный ряд также расходится.

2. Признак Даламбера. Пусть дан знакоположительный ряд  и существует конечный или бесконечный предел

.

 Тогда ряд сходится при  и расходится при . При  ряд может как сходится, так и расходится.

 Пример 6.3. Исследовать на сходимость ряд

.

 Применим признак Даламбера

 ,

.

По признаку Даламбера ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Пусть дан знакоположительный ряд   и существует конечный или бесконечный предел

 .

Тогда ряд сходится при  и расходится при . При  ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 6.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Коши:

.

По радикальному признаку Коши ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши. Пусть дан знакоположительный ряд . Если функция  непрерывна, монотонно убывает на промежутке , и   для любых , то несобственный интеграл   и ряд  сходятся или расходятся одновременно.

Пример 6.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Пусть  –непрерывная, монотонно убывающая на промежутке   функция, .

,

т.е. несобственный интеграл расходится. Следовательно, исходный ряд также расходится.

Примеры решения задач по математике