Математика примеры решения задач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

ДУ имеют вид

.

Если , то ДУ принимает вид

и называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ). Если T 0, то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ). Если , то уравнение называют линейным ДУ с постоянными коэффициентами.

Функции комплексной переменной Решение задач контрольной по математике. Типовые и курсовые расчеты

 Рассмотрим ЛОДУ с постоянными коэффициентами

 Для нахождения его общего решения составляют характеристическое уравнение

.

 При решении этого квадратного уравнения возможны три случая:

 1. . Уравнение имеет два действительных различных корня   (кратность каждого корня ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

.

2. . Уравнение имеет два равных корня  (говорят, что корень  имеет кратность ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

.

3. . Уравнение имеет два комплексно сопряженных корня  (кратность каждого корня ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

.

Рассмотрим далее ЛНДУ с постоянными коэффициентами

.

 Его общее решение задается формулой

,

где  – общее решение соответствующего ЛОДУ , а  – любое частное решение данного ЛНДУ.

 Рассмотрим частный случай, когда правая часть ЛНДУ   является функцией специального вида

 ,

где  – многочлены от х степеней n, m соответственно. Решение в этом случае проводят по схеме:

 1. Составляют характеристическое уравнение соответствующего ЛОДУ и находят его корни. Выписывают общее решение соответствующего ЛОДУ .

 2. По виду правой части  выписывают число . Если  не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ, то частное решение ЛНДУ  ищут в виде

,

а если  является корнем кратности , то в виде

,

где  –- многочлены от х степени l c неопределенными коэффициентами. Подставляя выражение для  в исходное ЛНДУ, вычисляют значения неопределенных коэффициентов многочленов  и выписывают частное решение ЛНДУ .

 3. Общее решение исходного ЛНДУ находят в виде .

 Пример 5.6. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Решение. Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Для соответствующего ЛОДУ  составляем характеристическое уравнение

, ,

.

Общее решение ЛОДУ имеет вид

.

 По виду правой части ЛНДУ выписываем число . Оно не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, поэтому частное решение ЛНДУ  ищем виде =. Вычисляем производные:

=

.

Подставляем в ЛНДУ:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части равенства, получаем:

, откуда .

Подставляя найденные значения А , В в , имеем =. Итак,  – общее решение исходного ДУ.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Вычисляем

.

и подставляем начальные условия в :

  откуда .

 Подставляя в общее решение у, получаем искомое частное решение

.

Примеры решения задач по математике