Математика примеры решения задач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

1. Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия и определения.

2. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решение (интеграл).

3. ДУ с разделяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ первого порядка, уравнение Бернулли.

4. ДУ второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решение (интеграл).

5. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.

6. Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего решения.

7. Линейные неоднородные ДУ второго порядка. Структура общего решения.

8. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение вида

,

Связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию  и ее производные .

 Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

 Решением ДУ называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

ДУ первого порядка может быть задано:

в общем виде

;

 в разрешенном относительно производной виде

;

 с использованием дифференциалов

.

 Задача Коши для ДУ первого порядка имеет вид

, ,

т.е. из множества решений ДУ требуется выделить то, которое удовлетворяет дополнительному условию . Это условие называют начальным.

 Функция  называется общим решением ДУ первого порядка в области , если:

а) при любом допустимом значении константы С функция  является решением ДУ;

б) для любой точки  существует единственное допустимое значение , такое, что .

 Частным решением ДУ называется любое решение которое может быть получено из общего при конкретном значении постоянной С (включая ).

 Общее решение, заданное в неявной форме

,

называют общим интегралом. При конкретном  равенство

,

задающее неявно частное решение ДУ, называют частным интегралом.

 Рассмотрим некоторые ДУ первого порядка.

 1. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ имеет вид

,

если записано через дифференциалы, или

,

если оно разрешено относительно производной.

 Разделив обе части первого уравнения на , получаем ДУ с разделенными переменными

.

 Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем общий интеграл исходного ДУ

.

 2. Однородные ДУ первого порядка. В записи через дифференциалы ДУ имеет вид

,

где  – однородные относительно  функции одинакового порядка.

 Замечание. Функция  называется однородной относительно  функцией порядка , если для любого  имеет место .

Если однородное ДУ разрешено относительно производной, то оно имеет вид:

.

 Подстановкой , где  – новая неизвестная функция, однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции .

 3. Линейные ДУ первого порядка. ДУ имеет вид

.

 Общее решение линейного ДУ можно найти с помощью подстановки , где  – новые неизвестные функции. После подстановки ДУ принимает вид

.

 Поскольку одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, то выберем  так, чтобы последнее уравнение упростилось, а именно, чтобы . Для этого в качестве  следует выбрать любое частное решение ДУ с разделяющимися переменными

,

например, . Тогда  находят как общее решение ДУ

,

т. е. . Общее решение исходного уравнения .

 4. Уравнение Бернулли. ДУ имеет вид

,

где . С помощью подстановки  решение уравнения Бернулли, как и решение линейного ДУ, сводится к последовательному интегрированию двух ДУ с разделяющимися переменными.

Примеры решения задач по математике