Математика примеры решения задач Интегралы

Пример 1. Вычислить , где область  ограничена линиями .

 Решение. Построим область  . Из рисунка видно, что она принадлежит к первому  виду.

 Находим

.

 Y

 

 

 

  

 

 0  X

 Рис. 7.

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение. Область интегрирования  расположена между прямыми , ограничена снизу параболой , сверху прямой  (рис. 8).

Так как правый участок границы области  задан двумя линиями, то прямая  разбивает ее на области  и .

В результате получаем

.

 

 Y

 

 

 2

 D2 

 1 

 D1 

 

 0 1 2 Х

 

 

 Рис. 8

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. По уравнениям границы области  строим данную фигуру (рис.9). На основании свойства 3 двойных интегралов искомая площадь

.

 Y

 

 

 3 

 

 

 

 

 0 1 3 Х

 

 Рис. 9.

Задание 4

Представить двойной интеграл  в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по и внешним интегрированием по , если область  задана указанными линиями.

Примеры решения задач по математике