Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция  определена в ограниченной замкнутой области  плоскости . Разобьем область  произвольным образом на  элементарных областей , имеющих площади  и диаметры  (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области  произвольную точку .

Интегральной суммой для функции  по области  называется сумма вида .

Если при  интегральная сумма имеет определенный конечный предел , не зависящий от способа разбиения  на элементарные области и от выбора точек  в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции  в области  и обозначается следующим образом:

 .

Если  в области , то двойной интеграл   равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и снизу областью , принадлежащей плоскости .

Основные свойства двойного интеграла

1. .

2. .

3. , где   – площадь области интегрирования .

4. Если область интегрирования  разбита на две области  и , то

 =+.

5. Оценка двойного интеграла. Если , то

.

Правила вычисления двойных интегралов

Различают два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования  ограничена слева и справа прямыми , , а снизу и сверху – непрерывными кривыми ,  , каждая из которых пересекается вертикальной прямой   только в одной точке (рис. 5).

 Y

 

 

 

 

 D

  

 

  c  X

 

 

 Рис. 5.

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

 ,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором х считается постоянным.

2. Область интегрирования  ограничена снизу и сверху прямыми , , а слева и справа – непрерывными кривыми ,  , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой  только в одной точке (рис. 6).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

 ,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором у считается постоянным.

 Правые части указанных формул называются повторными (или двукратными) интегралами

 Y

 

 

 d

 

 

  

 с

 X

 

 Рис. 6.

 

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.

Примеры решения задач по математике