Математика примеры решения задач Интегралы

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Пусть функция  определена в ограниченной замкнутой области  плоскости . Разобьем область  произвольным образом на  элементарных областей , имеющих площади  и диаметры  (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области  произвольную точку .

Интегральной суммой для функции  по области  называется сумма вида .

Если при  интегральная сумма имеет определенный конечный предел , не зависящий от способа разбиения  на элементарные области и от выбора точек  в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции  в области  и обозначается следующим образом:

 .

Если  в области , то двойной интеграл   равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , и снизу областью , принадлежащей плоскости .

Основные свойства двойного интеграла

1. .

2. .

3. , где   – площадь области интегрирования .

4. Если область интегрирования  разбита на две области  и , то

 =+.

5. Оценка двойного интеграла. Если , то

.

Правила вычисления двойных интегралов

Различают два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования  ограничена слева и справа прямыми , , а снизу и сверху – непрерывными кривыми ,  , каждая из которых пересекается вертикальной прямой   только в одной точке (рис. 5).

 Y

 

 

 

 

 D

  

 

  c  X

 

 

 Рис. 5.

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

 ,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором х считается постоянным.

2. Область интегрирования  ограничена снизу и сверху прямыми , , а слева и справа – непрерывными кривыми ,  , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой  только в одной точке (рис. 6).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

 ,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором у считается постоянным.

 Правые части указанных формул называются повторными (или двукратными) интегралами

 Y

 

 

 d

 

 

  

 с

 X

 

 Рис. 6.

 

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.

Примеры решения задач по математике