Математика примеры решения задач Интегралы

ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Интегральной суммой функции  на отрезке  называется сумма , где , причем .

Если существует предел интегральной суммы при  , не зависящий от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки  и выбора промежуточных точек , то функция  называется интегрируемой на этом отрезке, а сам предел – определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

Таким образом,

.

Если  непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке.

Пусть  - одна из первообразных непрерывной на  функции , тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

. (2.1)

Если функции  и  непрерывны вместе со своими производными на , то имеет место формула интегрирования по частям

. (2.2)

Если функция  непрерывна на , а функция  непрерывно дифференцируема и строго возрастает на , то справедлива формула

, (2.3)

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пример 2.1. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение. а) Введем новую переменную интегрирования . Тогда . Найдем пределы интегрирования по переменной . Из формулы   при , следует, что , т.е. ; при , – следует, что , т.е. . Тогда по формуле (2.3) получаем

=.

б) Применим интегрирование по частям:

=.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми  и осью Ох (рис.1), вычисляется по формуле

. (2.4)

 Если , то .

 Площадь плоской фигуры, изображенной на рис.2 ( здесь ), вычисляется по формуле

 (2.5)

 

 Y

 

 

 

   X

 Рис. 1.

 Y

 

 

 

 

 

 X

   

 

 

 Рис. 2.

Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Даны уравнения парабол и прямой. Параболы построим, приведя их уравнения к виду  и . Проведя прямую , определим, площадь какой фигуры требуется вычислить (рис.3). Ясно, что нижний предел интегрирования в этой формуле равен . Верхним пределом интегрирования будет являться абсцисса одной из точек пересечения парабол, которую найдем, решая систему

.

Корень  последнего уравнения и есть абсцисса точки пересечения (второй корень ).

 

 Рис. 3.

Имеем:

.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции , прямыми  и осью Ох вычисляется по формуле

, (2.6)

 Если фигура, ограниченная графиком двух функций   и   и прямыми , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

 (2.7)

Пример 2.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Построив окружность  и прямую , получим круговой сегмент (рис. 4). При вращении его вокруг оси Ох образуется тело, объем  которого вычисляется по формуле (2.7), так как этот сегмент ограничен графиком двух функций  и , причем . Таким образом,

=.

 Y

 

 

 

 2

 

 

 X

 0 2

 

 

 Рис. 4.

Если плоская кривая задана уравнением , то длина ее дуги от точки А с абсциссой a до точки В c абсциссой  вычисляется по формуле

 (2.8)

Если кривая задана параметрически:

, где   (  значения параметра , соответствующие концам рассматриваемой дуги), то длина дуги определяется формулой

 (2.9)

Пример 2.5. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями:

а)  от начала координат до точки ;

б)  при .

Решение. а) Находим .

В соответствии с формулой (2.8) (полагая в ней ) имеем:

.

 б) Вычисляем ,

,

.

Согласно формуле (2.9) имеем:

.

Задание 2

2.1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.2 Найти длину дуги линии .

2.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.4 Найти длину дуги линии , отсеченной прямой .

2.5 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.6 Найти площадь фигуры, образованной линиями .

2.7 Найти длину дуги линии .

2.8 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.10 Найти длину дуги линии  .

2.11 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:   вокруг оси Ох.

2.12 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.13 Найти длину дуги линии  .

2.14 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oy.

2.15 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.16 Найти длину дуги линии  от точки А( 0; 0) до точки В( 4; 8).

2.17 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.18 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.19 Найти длину дуги линии (петля).

2.20 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oх.

2.21 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.22 Найти длину дуги линии  .

2.23 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oх.

2.24 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.25 Найти длину дуги линии ,.

2.26 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oх.

2.27 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.28 Найти длину дуги линии , .

2.29 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.30 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Примеры решения задач по математике