Математика примеры решения задач Интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Интегральной суммой функции  на отрезке  называется сумма , где , причем .

Если существует предел интегральной суммы при  , не зависящий от способа разбиения отрезка  на частичные отрезки  и выбора промежуточных точек , то функция  называется интегрируемой на этом отрезке, а сам предел – определенным интегралом от функции  на отрезке  и обозначается .

Таким образом,

.

Если  непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке.

Пусть  - одна из первообразных непрерывной на  функции , тогда справедлива формула Ньютона – Лейбница

. (2.1)

Если функции  и  непрерывны вместе со своими производными на , то имеет место формула интегрирования по частям

. (2.2)

Если функция  непрерывна на , а функция  непрерывно дифференцируема и строго возрастает на , то справедлива формула

, (2.3)

называемая формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пример 2.1. Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение. а) Введем новую переменную интегрирования . Тогда . Найдем пределы интегрирования по переменной . Из формулы   при , следует, что , т.е. ; при , – следует, что , т.е. . Тогда по формуле (2.3) получаем

=.

б) Применим интегрирование по частям:

=.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми  и осью Ох (рис.1), вычисляется по формуле

. (2.4)

 Если , то .

 Площадь плоской фигуры, изображенной на рис.2 ( здесь ), вычисляется по формуле

 (2.5)

 

 Y

 

 

 

   X

 Рис. 1.

 Y

 

 

 

 

 

 X

   

 

 

 Рис. 2.

Пример 2.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Даны уравнения парабол и прямой. Параболы построим, приведя их уравнения к виду  и . Проведя прямую , определим, площадь какой фигуры требуется вычислить (рис.3). Ясно, что нижний предел интегрирования в этой формуле равен . Верхним пределом интегрирования будет являться абсцисса одной из точек пересечения парабол, которую найдем, решая систему

.

Корень  последнего уравнения и есть абсцисса точки пересечения (второй корень ).

 

 Рис. 3.

Имеем:

.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, которая ограничена графиком функции , прямыми  и осью Ох вычисляется по формуле

, (2.6)

 Если фигура, ограниченная графиком двух функций   и   и прямыми , вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

 (2.7)

Пример 2.4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Построив окружность  и прямую , получим круговой сегмент (рис. 4). При вращении его вокруг оси Ох образуется тело, объем  которого вычисляется по формуле (2.7), так как этот сегмент ограничен графиком двух функций  и , причем . Таким образом,

=.

 Y

 

 

 

 2

 

 

 X

 0 2

 

 

 Рис. 4.

Если плоская кривая задана уравнением , то длина ее дуги от точки А с абсциссой a до точки В c абсциссой  вычисляется по формуле

 (2.8)

Если кривая задана параметрически:

, где   (  значения параметра , соответствующие концам рассматриваемой дуги), то длина дуги определяется формулой

 (2.9)

Пример 2.5. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями:

а)  от начала координат до точки ;

б)  при .

Решение. а) Находим .

В соответствии с формулой (2.8) (полагая в ней ) имеем:

.

 б) Вычисляем ,

,

.

Согласно формуле (2.9) имеем:

.

Задание 2

2.1 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.2 Найти длину дуги линии .

2.3 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.4 Найти длину дуги линии , отсеченной прямой .

2.5 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.6 Найти площадь фигуры, образованной линиями .

2.7 Найти длину дуги линии .

2.8 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.10 Найти длину дуги линии  .

2.11 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:   вокруг оси Ох.

2.12 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.13 Найти длину дуги линии  .

2.14 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oy.

2.15 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.16 Найти длину дуги линии  от точки А( 0; 0) до точки В( 4; 8).

2.17 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.18 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.19 Найти длину дуги линии (петля).

2.20 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oх.

2.21 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.22 Найти длину дуги линии  .

2.23 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oх.

2.24 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.25 Найти длину дуги линии ,.

2.26 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Oх.

2.27 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

2.28 Найти длину дуги линии , .

2.29 Найти объем тела, полученного вращением фигуры Ф:  вокруг оси Ох.

2.30 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Примеры решения задач по математике