Математика примеры решения задач Интегралы

НЕОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов

 Первообразной функцией для функции  называется такая функция , производная которой равна данной функции, т.е.

.

 Неопределенным интегралом от непрерывной функции   называется совокупность всех первообразных функций :

,

где .

Практикум по решению математических задач Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Свойства неопределенного интеграла

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Таблица основных неопределенных интегралов

;

;

;

;

;

;

;

,

;

;

;

.

1.2. Основные методы интегрирования

а) Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах 3, 4 и таблице неопределенных интегралов.

Пример 1.1. Вычислить .

Решение. Применяя свойства 3, 4 и таблицу, получаем:

=

.

б) Метод подстановки основан на формуле:

Пример 1.2. Вычислить .

Положим . Тогда . Сделаем замену

.

Пример 1.3. Вычислить .

Положим . Тогда . Сделаем замену

=

.

в) Интегрирование по частям выполняется по формуле:

,

полученной из равенства .

Пример 1.4. Вычислить .

.

Пример 1.5. Вычислить .

=

.

Методы интегрирования основных классов интегралов можно найти в литературе [1], [2].

Примеры решения задач по математике