Задачи с решениями КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ по термодинамике и статистической физике

[an error occurred while processing this directive]
Математика
Примеры решения задач
 
Сопромат
Лабораторные работы по материаловедению
Физика
Экзамен
Первая контрольная работа
Вторая контрольная работа
Энергия линейного гармонического осциллятора
Уравнение реакции водорода с кислородом
В сосуде газ идеальный
джоулево тепло

КПД обратимой тепловой машины

Электротехника
Расчеты цепей постоянного и переменного тока
 

Вторая контрольная работа

1. Вероятность рассматриваемой квантовой частицы находиться в i-м состоянии определяется распределением Гиббса:

Здесь ε0 = 0, ε1 = E0, ε2 = 2E0 – заданные уровни энергии; g0 = 1, g2 = 2, g3 = 1 – их кратности вырождения, или статистические веса (первый и третий уровни энергии невырожденные, второй двукратно вырожден). Статистическая сумма Z в данном случае равна

Средняя энергия частицы вычисляется по формуле:

Подставим конкретные значения уровней энергии и статистических весов и преобразуем формулу:

По условию среднее значение энергии равно E0/2. Таким образом, для определения температуру системы имеем равенство:

Отсюда получаем:

2. При прохождении электрического тока в проводе выделяется джоулево тепло. В расчете на единицу длины провода эти потери энергии за единицу времени составляют:

Все выделяющееся в проводе тепло отводится посредством теплопроводности в окружающую среду. Решается стационарная задача. Поэтому поток тепла через любую поверхность, окружающую провод, один и тот же, равный тепловыделению в проводе. Задача имеет осевую симметрию. Это позволяет выбрать в качестве контрольной поверхность цилиндра радиусом R с осью, совпадающей с проводом (провод прямой, тонкий).

Плотность потока тепла согласно закону Фурье равна

Используя это выражение для q, записываем уравнение баланса энергии:

Для интегрирования этого дифференциального уравнения применяем метод разделения переменных. С учетом того, что коэффициент теплопроводности имеет постоянное значение, записываем:

Температура окружающей среды известна в точках R1 и R2. Это соответственно значения T1 и T2. Интегрируя уравнение, получим:

Отсюда найдем сопротивление единицы длины провода:

3. Уравнение реакции водорода с кислородом имеет вид

Поскольку реагенты (водород и кислород) взяты в стехиометрическом количестве, то они полностью прореагируют. Пусть в исходном составе смеси содержится два моля водорода и один моль кислорода. Тогда получится два моля воды.

Водород и кислород – двухатомные газы. Их молекула имеет шесть степеней свободы: три поступательные, две вращательные и одну колебательную. При комнатной температуре колебательное движение молекул H2 и O2 заморожено. В энергию рассматриваемой смеси вклад дают только поступательное и вращательное движение молекул. Согласно закону равнораспределения энергия смеси до химической реакции равна

Молекула образовавшейся в результате реакции воды имеет девять степеней свободы: по три поступательных, вращательных и колебательных. Соответствующая энергия образовавшейся воды равна

где значение молярной теплоемкости воды cV зависит от того, возбуждено или не возбуждено колебательное движение молекул. В первом случае теплоемкость равна

а во втором она имеет значение

Температура паров воды отличается от температуры исходной смеси не только в результате выделения энергии в процессе горения, а также из-за изменения величины теплоемкости и в результате совершения работы. Записываем уравнение энергии:

Последнее слагаемое в правой части – изобарическая работа;  – изменение объема системы. Начальный и конечный объемы находим из термического уравнения состояния, записанного в соответствующие моменты времени:

Подставляя полученное выражение для работы в уравнение энергии, найдем температуру системы после завершения реакции:

В случае, когда колебания молекулы воды выморожены, температура паров воды равна

Если все колебания молекулы воды можно рассматривать в классическом приближении, в этом случае конечная температура равна

4. Распределение молекул по поверхности мыльного пузыря, висящего в воздухе, определяется распределением Больцмана. Пусть поверхность пузыря имеет сферическую форму, радиус равен R. высоту h отсчитываем от центра сферы. По барометрической формуле имеем

Здесь n – поверхностная концентрация молекул (число молекул, приходящееся на единицу площади поверхности).

На сфере плоскостями, перпендикулярными вертикальному диаметру, выделим узкое кольцо. Число молекул на кольце равно

Здесь θ – угол сферической системы координат (с осью h). Высота h в этих координатах равна

Вычислим число всех молекул:

Вычислим число молекул, которые находятся на верхней половине сферического пузыря:

Доля молекул, находящихся на верхней половине пузыря, равна

5. Каждая молекула идеального газа ежесекундно испытывает

столкновений с другими молекулами. В этом выражении для частоты столкновений  – средняя скорость теплового движения молекул. Она определяется температурой газа, Поскольку температура в процессе истечения газа поддерживается постоянной, то и указанная скорость имеет постоянное значение.

Заменим концентрацию молекул n ее выражением через полное число молекул N:

Это число столкновений, испытываемых одной молекулой. Число столкновений, испытываемых в единицу времени dN молекулами, очевидно, равно

Число взаимных столкновений молекул в сосуде за единицу времени найдем, интегрируя выражение для dj:

Множитель 1/2 существенный: он учитывает, что молекулы неразличимы.

Найдем теперь, как изменяется с течением времени число молекул в сосуде. По закону сохранения массы изменение числа частиц в сосуде в единицу времени равно их потоку через отверстие со знаком «минус»:

Исключаем концентрацию:

Дифференциальное уравнение интегрируется с помощью метода разделения переменных:

При интегрировании используется начальное условие:

В результате находим:

Вычислим, сколько всего взаимных столкновений молекул в сосуде произошло до полного выхода газа:

Задачи экзамена по физике