Типовой расчет Неопределенные и определенные интегралы

Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и .

Решение.

Найдём точки пересечения данных кривых. Для этого необходимо решить систему уравнений


Решив её, найдём координаты точек  и . Тогда, очевидно, что площадь фигуры

Кривая, ограничивающая область, может быть задана в полярных координатах. Точнее, рассмотрим площадь фигуры, ограниченной лучами , а также кривой  (предполагаем, естественно, что функция  на промежутке   интегрируема). Площадь данного криволинейного сектора находится по формуле .

В задании VI требуется вычислить длины кривых, заданных тремя различными способами.

Если кривая задана в прямоугольной системе координат, уравнением , где , то ее длина находится по формуле

Если кривая задана параметрическими уравнениями

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

Отметим, что здесь, естественно, предполагается, что функции ,  и их производные  и  непрерывны на промежутке .

В том случае, когда кривая задана уравнением в полярных координатах , причём функция  и её производная   непрерывны на промежутке , то

Пример 12. Найти длину дуги кривой

Решение.

Найдем сначала неопределенный интеграл. Сделаем замену переменной (подстановка Эйлера):

  (*)

Выразим x через t.

 

Подставляем в интеграл, учитывая выражение (*) для корня.

Теперь по формуле Ньютона-Лейбница получаем результат:

Примеры решения задач по математике