Типовой расчет Неопределенные и определенные интегралы

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: . Чтобы найти коэффициенты разложения, снова приведем сумму этих простейших к общему знаменателю. Тогда . Сравним первую дробь этого равенства с последней. Так как знаменатели этих дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е. . Теперь для нахождения неопределенных коэффициентов можно воспользоваться одним из двух критериев равенства двух многочленов:

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены. Получится система , решая которую, находим А=3 и В=-2.

Тогда .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящая под интегралом, неправильная, поэтому из нее надо выделить целую часть. Это можно сделать делением числителя на знаменатель уголком

Отсюда

  и .

Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие: ,

Откуда

 и .

Подставляя в первое равенство , получим  или . Из второго равенства получаем систему

,

из которой окончательно находим все коэффициенты: .

Вернемся к интегралу от правильной дроби:

В последнем интеграле выделим полный квадрат в знаменателе  и сделаем замену переменной . Тогда . Окончательно,

 

 

 

 

В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов.

1. Интеграл вида , где  - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл  сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.

2. Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида , где  - рациональная функция двух переменных, применяются следующие подстановки:

а) Если функция  нечетна относительно первой переменной, т.е. , то применяется подстановка .

b) Если функция  нечетна относительно второй переменной, т.е. , то применяется подстановка .

c) Если функция  четна относительно обеих переменных, т.е. , то применяется подстановка .

3. Интегралы вида ,  и  приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

4. Рассмотрим интегралы вида , где n и m – целые неотрицательные числа.

Если n – нечетное число, то можно сделать подстановку . Тогда ,  и данный интеграл приводится к виду . Если n – число четное, но нечетным будет m, то аналогично можно сделать подстановку  и привести интеграл к виду .

Если оба показателя n и m четные, то применяют формулы понижения степени: .

5. Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности:

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки ;

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки ;

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки ;

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку*: .

Тогда

.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Функция, стоящая под интегралом, нечетна относительно синуса: , поэтому сделаем подстановку . Тогда

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем произведение, стоящее под знаком интеграла в сумму:

.

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Так как  стоит в нечетной степени, то сделаем замену . Тогда

.

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь  стоит в четной степени, поэтому воспользуемся формулами понижения степени:

В задании V требуется найти площадь плоской фигуры с использованием определенного интеграла. Приведем основные формулы, необходимые для этого.

Если область  ограничена сверху кривой , снизу кривой , причём , то площадь области  можно вычислить по формуле

, т.е.

Если кривая задана параметрически  и при изменении параметра  точка пробегает кривую L , лежащую выше оси OX от  до, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной данной кривой, осью абсцисс и прямыми  и находится по формуле  По той же формуле можно найти и площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой L , заданной параметрически и пробегаемой по часовой стрелке,. При этом  соответствуют значениям параметра, при которых кривая замыкается.

Примеры решения задач по математике