Типовой расчет Неопределенные и определенные интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящую под знаком интеграла, представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами: . Чтобы найти коэффициенты разложения, снова приведем сумму этих простейших к общему знаменателю. Тогда . Сравним первую дробь этого равенства с последней. Так как знаменатели этих дробей равны, то должны быть равны и числители, т. е. . Теперь для нахождения неопределенных коэффициентов можно воспользоваться одним из двух критериев равенства двух многочленов:

1) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.

2) Два многочлена равны тогда и только тогда, когда значения этих многочленов равны при любом значении переменной х.

В этом примере воспользуемся первым критерием равенства многочленов. Раскрывая скобки, получим . В многочленах справа и слева приравняем коэффициенты при х и свободные члены. Получится система , решая которую, находим А=3 и В=-2.

Тогда .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Дробь, стоящая под интегралом, неправильная, поэтому из нее надо выделить целую часть. Это можно сделать делением числителя на знаменатель уголком

Отсюда

  и .

Дробь, стоящую в последнем интеграле, разложим на простейшие: ,

Откуда

 и .

Подставляя в первое равенство , получим  или . Из второго равенства получаем систему

,

из которой окончательно находим все коэффициенты: .

Вернемся к интегралу от правильной дроби:

В последнем интеграле выделим полный квадрат в знаменателе  и сделаем замену переменной . Тогда . Окончательно,

 

 

 

 

В задании IV требуется проинтегрировать некоторую тригонометрическую функцию. Рассмотрим основные приемы вычисления подобных интегралов.

1. Интеграл вида , где  - рациональная функция, можно привести к интегралу от рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой . Используя формулы тригонометрии, получим . Кроме того , откуда .

Применение этой подстановки доказывает, что каждый интеграл  сводится к интегралу от рациональной функции и, следовательно, первообразная функции , стоящей под интегралом, выражается через элементарные функции.

2. Универсальная тригонометрическая подстановка очень часто приводит к дроби, интегрирование которой представляет собой весьма трудоемкий процесс. Поэтому эта подстановка на практике используется очень редко. Чаще при вычислении интеграла вида , где  - рациональная функция двух переменных, применяются следующие подстановки:

а) Если функция  нечетна относительно первой переменной, т.е. , то применяется подстановка .

b) Если функция  нечетна относительно второй переменной, т.е. , то применяется подстановка .

c) Если функция  четна относительно обеих переменных, т.е. , то применяется подстановка .

3. Интегралы вида ,  и  приводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

4. Рассмотрим интегралы вида , где n и m – целые неотрицательные числа.

Если n – нечетное число, то можно сделать подстановку . Тогда ,  и данный интеграл приводится к виду . Если n – число четное, но нечетным будет m, то аналогично можно сделать подстановку  и привести интеграл к виду .

Если оба показателя n и m четные, то применяют формулы понижения степени: .

5. Некоторые интегралы от рациональных и иррациональных функций легко вычисляются с помощью тригонометрических подстановок, в частности:

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки ;

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки ;

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки ;

интеграл вида  можно вычислить с помощью подстановки .

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 6. Найти интеграл .

Решение. Применим универсальную тригонометрическую подстановку*: .

Тогда

.

Пример 7. Найти интеграл .

Решение. Функция, стоящая под интегралом, нечетна относительно синуса: , поэтому сделаем подстановку . Тогда

Пример 8. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем произведение, стоящее под знаком интеграла в сумму:

.

Пример 9. Найти интеграл .

Решение. Так как  стоит в нечетной степени, то сделаем замену . Тогда

.

Пример 10. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь  стоит в четной степени, поэтому воспользуемся формулами понижения степени:

В задании V требуется найти площадь плоской фигуры с использованием определенного интеграла. Приведем основные формулы, необходимые для этого.

Если область  ограничена сверху кривой , снизу кривой , причём , то площадь области  можно вычислить по формуле

, т.е.

Если кривая задана параметрически  и при изменении параметра  точка пробегает кривую L , лежащую выше оси OX от  до, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной данной кривой, осью абсцисс и прямыми  и находится по формуле  По той же формуле можно найти и площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой L , заданной параметрически и пробегаемой по часовой стрелке,. При этом  соответствуют значениям параметра, при которых кривая замыкается.

Примеры решения задач по математике