Типовой расчет Неопределенные и определенные интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

В задании III требуется найти интеграл от рациональной функции. Опишем указанную процедуру, приведя основную теорему.

1. Рациональной дробью называется выражение вида , где  и  многочлены от переменной х степени n и m соответственно.

Например, дроби , ,  являются рациональными дробями относительно переменной х.

2. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае дробь называется неправильной.

В предыдущих примерах первая дробь будет правильной, а две последние неправильными.

3. Простейшими дробями будем называть дроби вида , ,  и , где дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателях двух последних дробей, строго меньше нуля, то есть эти знаменатели нельзя разложить на вещественные простые множители.

Если дробь неправильная, то из нее можно выделить целую часть, то есть представить дробь в виде , где  многочлен степени n-m, а  - многочлен степени , то есть дробь  - правильная. Чтобы получить такое представление дроби, надо разделить числитель  на знаменатель  с остатком. Тогда многочленом  будет неполное частное, а  остаток от деления.

Правильную дробь всегда можно представить в виде суммы простейших дробей.

Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

Пусть дробь - правильная, несократимая и многочлен  разложен на множители в области вещественных чисел, то есть , где все квадратные трехчлены  не имеют вещественных корней. Тогда

  .

Замечание. Теорема утверждает, что каждая правильная дробь раскладывается на сумму простейших дробей в соответствии с разложением на множители знаменателя. Каждому множителю вида  соответствует k дробей вида , где показатель i меняется от 1 до s, и в числителях стоят некоторые константы , и каждому множителю вида  соответствуют m дробей вида , где показатель j меняется от 1 до r, а в числителях стоят линейные функции .

Рассмотрим теперь интеграл .

Чтобы его вычислить, достаточно руководствоваться несколькими правилами:

1) Если дробь  неправильная, то из нее надо выделить целую часть. Последняя является многочленом, следовательно, легко интегрируется, поэтому проблема сводится к интегрированию правильной дроби.

2) Правильную дробь надо разложить на сумму простейших дробей. Тогда интеграл от этой дроби сведется к сумме интегралов от простейших дробей.

Как нам известно*, простейшие дроби бывают четырех типов: . Первые две из них интегрируются подведением под знак дифференциала:

.

Интегрирование третьей дроби мы уже рассматривали*.

Рассмотрим интегрирование простейшей дроби четвертого типа. Сначала выделим полный квадрат в знаменателе этой дроби: . Так как дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, то , поэтому можно ввести обозначение . Кроме того, введем замену переменной . Тогда ,

где . Первый из полученных интегралов берется подведением под знак дифференциала:

.

Что касается второго интеграла, то к нему применяется прием, называемый понижением степени. Обозначим этот интеграл через . Сначала преобразуем числитель этого интеграла

 

и разобьем его на два слагаемых .

Последний интеграл проинтегрируем по частям, положив .

Тогда ,

Откуда

.

Окончательно получим

 

Формула  называется рекуррентной формулой и ею можно пользоваться при вычислении подобных интегралов, но так как эту формулу трудно выучить наизусть, предпочтительнее при вычислении таких интегралов пользоваться тем приемом, с помощью которого эта формула была получена.

В дальнейшем мы узнаем еще один способ вычисления подобного интеграла.

Примеры решения задач по математике