Типовой расчет Неопределенные и определенные интегралы

Портативная акустическая система

Гуманитарные науки

Гуманитарные науки

Биржа студенческих   работ. Контрольные, курсовые, рефераты.

Выполнение 
работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Выполнение работ на заказ. Контрольные, курсовые и дипломные работы

Занимайтесь онлайн 
        с опытными репетиторами

Занимайтесь онлайн
с опытными репетиторами

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Типовой за 1 курс
Неопределенные интегралы
Интеграл от рациональной функции.
Проинтегрировать тригонометрическую функцию
Вычислить площадь фигуры
Вычислить объем тела
Первообразная функция
Вычислить площадь фигуры
Вычислить несобственный интеграл
Правила вычисления двойных интегралов
Дифференциальные уравнения (ДУ)
Найти общее решение
Найти частное решение ДУ
Числовые ряды. Сумма ряда
Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов
Степенные ряды
Две задачи математического анализа
Метод замены переменной (способ подстановки) 
Интегрирование по формулам
Способ подстановки
Интегрирование по частям
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Несобственный интеграл 1-го рода
Формула Ньютона - Лейбница
Исследовать сходимость интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Методом интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование тригонометрических функций
Определенный интеграл и его приложения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры
Несобственные интегралы
Определенный интеграл и его приложения
Обыкновенным дифференциальным уравнением
Дифференциальные уравнения I порядка
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения
Частные случаи уравнений II порядка
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Типовой расчет содержит семь заданий.

В заданиях I и II предлагается найти неопределенные интегралы, используя их простейшие свойства, такие, как линейность, и основные приемы интегрирования – замену переменной (или внесение под знак дифференциала) и интегрирование по частям. Напомним указанные свойства.

Линейность:

1. .

2. .

Типовые расчеты (курсовые задания) по математике Векторная функция скалярного аргумента Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Пример 1. Найти .

Решение. Преобразуя подынтегральное выражение в сумму, и используя свойство линейности интеграла, получим сумму двух табличных интегралов:

.

Теорема (замена переменной в неопределенном интеграле):

Пусть функция  является первообразной для функции  на некотором промежутке  и функция  непрерывная и имеет непрерывную производную на промежутке , причем для всякого значения  выполняется неравенство . Тогда будет справедлива формула:

  (*),

где .

Формулу (*) можно применять, не вводя явно новой переменной. В общем виде она будет выглядеть следующим образом: . Тогда, если  - первообразная функции , то . Такой прием называют внесением под знак дифференциала.

Пример 2. Найти , .

Решение.

Первый способ. Приведем пример применения формулы *.

Пусть требуется найти интеграл , .

Сделаем замену переменной , то есть . Чтобы применить формулу, нужно сделать замену переменной в подынтегральной функции  и положить .

В нашем интеграле  и . Тогда .

Делая замену , получим окончательно .

Второй способ. Сделаем замену переменной по формуле .

Тогда . Для того, чтобы выразить  через , продифференцируем равенство :

.

Тогда .

Замечание. Чтобы доказать равенство ответов, полученных обоими способами, можно во втором ответе избавиться от иррациональности в числителе и вынести показатель степени за знак логарифма:

Одним из основных приемов при поиске первообразной является интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид

.

Приведем пример использования формулы.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Возьмем  и применим формулу интегрирования по частям. Для этого сначала надо вычислить  и v:  и .

Тогда .

Замечания.

1. При нахождении функции v находят не все первообразные, а только одну из них, поэтому произвольную постоянную С писать не надо; в примере было .

2. Очевидно, основная трудность применения этой формулы состоит в том, чтобы правильно выбрать компоненты интеграла u и dv. Обычно этот метод применяется, когда под знаком интеграла имеется трансцендентная функция, такая как   и т.п. Тогда можно руководствоваться следующим правилом: если производная от трансцендентной функции становится функцией алгебраической (т.е. рациональной или иррациональной дробью), то за u принимается эта функция. Например, в интеграле  за u надо взять , так как , то есть после дифференцирования получается дробь.

Если же трансцендентность после дифференцирования не исчезает, то эту функцию включают в состав dv, например, в предыдущем примере  за u был взят множитель х, а функция  была включена в dv: .

Примеры решения задач по математике